Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(1/(x-1))

Gráfico de la función y = sin(1/(x-1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /  1  \
f(x) = sin|-----|
          \x - 1/
f(x)=sin⁡(1x−1)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} 
f = sin(1/(x - 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(1x−1)=0\sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1+ππx_{1} = \frac{1 + \pi}{\pi}
Solución numérica
x1=1.31830988618379x_{1} = 1.31830988618379
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(1/(x - 1)).
sin⁡(1−1)\sin{\left(\frac{1}{-1} \right)}
Resultado:
f(0)=−sin⁡(1)f{\left(0 \right)} = - \sin{\left(1 \right)}
Punto:
(0, -sin(1))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−cos⁡(1x−1)(x−1)2=0- \frac{\cos{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=23+ππx_{1} = \frac{\frac{2}{3} + \pi}{\pi}
x2=2+ππx_{2} = \frac{2 + \pi}{\pi}
Signos de extremos en los puntos:
 2/3 + pi     /      1      \ 
(--------, sin|-------------|)
    pi        |     2/3 + pi| 
              |-1 + --------| 
              \        pi   / 

 2 + pi     /     1     \ 
(------, sin|-----------|)
   pi       |     2 + pi| 
            |-1 + ------| 
            \       pi  /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=23+ππx_{1} = \frac{\frac{2}{3} + \pi}{\pi}
Puntos máximos de la función:
x1=2+ππx_{1} = \frac{2 + \pi}{\pi}
Decrece en los intervalos
[23+ππ,2+ππ]\left[\frac{\frac{2}{3} + \pi}{\pi}, \frac{2 + \pi}{\pi}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,23+ππ]∪[2+ππ,∞)\left(-\infty, \frac{\frac{2}{3} + \pi}{\pi}\right] \cup \left[\frac{2 + \pi}{\pi}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2cos⁡(1x−1)−sin⁡(1x−1)x−1(x−1)3=0\frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}}{x - 1}}{\left(x - 1\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−32568.2978686558x_{1} = -32568.2978686558
x2=38634.4228174318x_{2} = 38634.4228174318
x3=13209.7919633445x_{3} = 13209.7919633445
x4=−38501.1959242372x_{4} = -38501.1959242372
x5=−13923.8893302226x_{5} = -13923.8893302226
x6=−27483.0706891032x_{6} = -27483.0706891032
x7=31853.9751169558x_{7} = 31853.9751169558
x8=−16465.9233811403x_{8} = -16465.9233811403
x9=−36806.0712816239x_{9} = -36806.0712816239
x10=−22398.0244870463x_{10} = -22398.0244870463
x11=14057.0754551597x_{11} = 14057.0754551597
x12=21683.7568157916x_{12} = 21683.7568157916
x13=−26635.5476191162x_{13} = -26635.5476191162
x14=14904.3955109748x_{14} = 14904.3955109748
x15=22531.2393696277x_{15} = 22531.2393696277
x16=−12229.3803334462x_{16} = -12229.3803334462
x17=31006.431036802x_{17} = 31006.431036802
x18=40329.5550406338x_{18} = 40329.5550406338
x19=−19008.1660528024x_{19} = -19008.1660528024
x20=−14771.2041667315x_{20} = -14771.2041667315
x21=−41043.8958753073x_{21} = -41043.8958753073
x22=−23245.5145738415x_{22} = -23245.5145738415
x23=29311.3533195775x_{23} = 29311.3533195775
x24=28463.8203049207x_{24} = 28463.8203049207
x25=−41891.4655683296x_{25} = -41891.4655683296
x26=19988.8227026491x_{26} = 19988.8227026491
x27=36939.2975951207x_{27} = 36939.2975951207
x28=27616.2916649137x_{28} = 27616.2916649137
x29=41177.1235072585x_{29} = 41177.1235072585
x30=25921.2492269244x_{30} = 25921.2492269244
x31=15751.746212542x_{31} = 15751.746212542
x32=−33415.8475216438x_{32} = -33415.8475216438
x33=−30873.2075577606x_{33} = -30873.2075577606
x34=−25788.0298880236x_{34} = -25788.0298880236
x35=17446.5216465877x_{35} = 17446.5216465877
x36=0.0713862413698841x_{36} = 0.0713862413698841
x37=−30025.6674080004x_{37} = -30025.6674080004
x38=−34263.3998761548x_{38} = -34263.3998761548
x39=32701.5223170108x_{39} = 32701.5223170108
x40=−35958.5119252501x_{40} = -35958.5119252501
x41=19141.373892605x_{41} = 19141.373892605
x42=−20703.0723806558x_{42} = -20703.0723806558
x43=−28330.5986184452x_{43} = -28330.5986184452
x44=−42739.0366317825x_{44} = -42739.0366317825
x45=34396.6251537353x_{45} = 34396.6251537353
x46=−29178.1309833714x_{46} = -29178.1309833714
x47=−19855.6127605554x_{47} = -19855.6127605554
x48=39481.9881103059x_{48} = 39481.9881103059
x49=18293.9395052214x_{49} = 18293.9395052214
x50=−13076.6121032154x_{50} = -13076.6121032154
x51=−24093.0126984577x_{51} = -24093.0126984577
x52=−31720.7511338661x_{52} = -31720.7511338661
x53=30158.890339776x_{53} = 30158.890339776
x54=−17313.3189732721x_{54} = -17313.3189732721
x55=25073.7364333383x_{55} = 25073.7364333383
x56=36091.7379177199x_{56} = 36091.7379177199
x57=−18160.7340682844x_{57} = -18160.7340682844
x58=−40196.3276394369x_{58} = -40196.3276394369
x59=23378.7307548803x_{59} = 23378.7307548803
x60=−39348.7609549151x_{60} = -39348.7609549151
x61=−35110.9547364484x_{61} = -35110.9547364484
x62=12362.5525839022x_{62} = 12362.5525839022
x63=20836.2841725987x_{63} = 20836.2841725987
x64=−24940.5180406218x_{64} = -24940.5180406218
x65=37786.8592722495x_{65} = 37786.8592722495
x66=−21550.5433875739x_{66} = -21550.5433875739
x67=−37653.6326591317x_{67} = -37653.6326591317
x68=−15618.5504740573x_{68} = -15618.5504740573
x69=42024.6934171877x_{69} = 42024.6934171877
x70=35244.1803843961x_{70} = 35244.1803843961
x71=24226.2300435653x_{71} = 24226.2300435653
x72=33549.0724003603x_{72} = 33549.0724003603
x73=26768.7678154612x_{73} = 26768.7678154612
x74=16599.1228540375x_{74} = 16599.1228540375
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

True

True

- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0.0713862413698841,∞)\left[0.0713862413698841, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0.0713862413698841]\left(-\infty, 0.0713862413698841\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(1x−1)=0\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞sin⁡(1x−1)=0\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(1/(x - 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(1x−1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(1x−1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(1x−1)=sin⁡(1−x−1)\sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = \sin{\left(\frac{1}{- x - 1} \right)}
- No
sin⁡(1x−1)=−sin⁡(1−x−1)\sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = - \sin{\left(\frac{1}{- x - 1} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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