Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-2)^2-9
-
(x^2+21)/(x-2)
-
(x^2)+(1/x^2)
-
((x+1)/(x-1))^4
-
Expresiones idénticas
- sin(uno /(x- uno))
- seno de (1 dividir por (x menos 1))
- seno de (uno dividir por (x menos uno))
- sin1/x-1
- sin(1 dividir por (x-1))
-
Expresiones semejantes
- sin*1/x-1
- sin(1/(x+1))
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(8*x)/((cot(3*x)*tan(5*x)^2))
- sin(2*pi*250*100*x+2*pi/3)+1.4*sin(2*pi*500*100*x+pi/2)
- sin(5*x-3)^(4)
- sin(4*x)*sqrt(81-25*x^2),5*x*arctg
- sin(697*t)+sin(1336*t)
Gráfico de la función y = sin(1/(x-1))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 1 \
f(x) = sin|-----|
\x - 1/
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}$$
f = sin(1/(x - 1))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1 + \pi}{\pi}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.31830988618379$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1 + \pi}{\pi}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.31830988618379$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\cos{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\frac{2}{3} + \pi}{\pi}$$
$$x_{2} = \frac{2 + \pi}{\pi}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\frac{2}{3} + \pi}{\pi}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{2 + \pi}{\pi}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{\frac{2}{3} + \pi}{\pi}, \frac{2 + \pi}{\pi}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\frac{2}{3} + \pi}{\pi}\right] \cup \left[\frac{2 + \pi}{\pi}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\cos{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\frac{2}{3} + \pi}{\pi}$$
$$x_{2} = \frac{2 + \pi}{\pi}$$
Signos de extremos en los puntos:
2/3 + pi / 1 \
(--------, sin|-------------|)
pi | 2/3 + pi|
|-1 + --------|
\ pi / 2 + pi / 1 \
(------, sin|-----------|)
pi | 2 + pi|
|-1 + ------|
\ pi / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\frac{2}{3} + \pi}{\pi}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{2 + \pi}{\pi}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{\frac{2}{3} + \pi}{\pi}, \frac{2 + \pi}{\pi}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\frac{2}{3} + \pi}{\pi}\right] \cup \left[\frac{2 + \pi}{\pi}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}}{x - 1}}{\left(x - 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -32568.2978686558$$
$$x_{2} = 38634.4228174318$$
$$x_{3} = 13209.7919633445$$
$$x_{4} = -38501.1959242372$$
$$x_{5} = -13923.8893302226$$
$$x_{6} = -27483.0706891032$$
$$x_{7} = 31853.9751169558$$
$$x_{8} = -16465.9233811403$$
$$x_{9} = -36806.0712816239$$
$$x_{10} = -22398.0244870463$$
$$x_{11} = 14057.0754551597$$
$$x_{12} = 21683.7568157916$$
$$x_{13} = -26635.5476191162$$
$$x_{14} = 14904.3955109748$$
$$x_{15} = 22531.2393696277$$
$$x_{16} = -12229.3803334462$$
$$x_{17} = 31006.431036802$$
$$x_{18} = 40329.5550406338$$
$$x_{19} = -19008.1660528024$$
$$x_{20} = -14771.2041667315$$
$$x_{21} = -41043.8958753073$$
$$x_{22} = -23245.5145738415$$
$$x_{23} = 29311.3533195775$$
$$x_{24} = 28463.8203049207$$
$$x_{25} = -41891.4655683296$$
$$x_{26} = 19988.8227026491$$
$$x_{27} = 36939.2975951207$$
$$x_{28} = 27616.2916649137$$
$$x_{29} = 41177.1235072585$$
$$x_{30} = 25921.2492269244$$
$$x_{31} = 15751.746212542$$
$$x_{32} = -33415.8475216438$$
$$x_{33} = -30873.2075577606$$
$$x_{34} = -25788.0298880236$$
$$x_{35} = 17446.5216465877$$
$$x_{36} = 0.0713862413698841$$
$$x_{37} = -30025.6674080004$$
$$x_{38} = -34263.3998761548$$
$$x_{39} = 32701.5223170108$$
$$x_{40} = -35958.5119252501$$
$$x_{41} = 19141.373892605$$
$$x_{42} = -20703.0723806558$$
$$x_{43} = -28330.5986184452$$
$$x_{44} = -42739.0366317825$$
$$x_{45} = 34396.6251537353$$
$$x_{46} = -29178.1309833714$$
$$x_{47} = -19855.6127605554$$
$$x_{48} = 39481.9881103059$$
$$x_{49} = 18293.9395052214$$
$$x_{50} = -13076.6121032154$$
$$x_{51} = -24093.0126984577$$
$$x_{52} = -31720.7511338661$$
$$x_{53} = 30158.890339776$$
$$x_{54} = -17313.3189732721$$
$$x_{55} = 25073.7364333383$$
$$x_{56} = 36091.7379177199$$
$$x_{57} = -18160.7340682844$$
$$x_{58} = -40196.3276394369$$
$$x_{59} = 23378.7307548803$$
$$x_{60} = -39348.7609549151$$
$$x_{61} = -35110.9547364484$$
$$x_{62} = 12362.5525839022$$
$$x_{63} = 20836.2841725987$$
$$x_{64} = -24940.5180406218$$
$$x_{65} = 37786.8592722495$$
$$x_{66} = -21550.5433875739$$
$$x_{67} = -37653.6326591317$$
$$x_{68} = -15618.5504740573$$
$$x_{69} = 42024.6934171877$$
$$x_{70} = 35244.1803843961$$
$$x_{71} = 24226.2300435653$$
$$x_{72} = 33549.0724003603$$
$$x_{73} = 26768.7678154612$$
$$x_{74} = 16599.1228540375$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0.0713862413698841, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.0713862413698841\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}}{x - 1}}{\left(x - 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -32568.2978686558$$
$$x_{2} = 38634.4228174318$$
$$x_{3} = 13209.7919633445$$
$$x_{4} = -38501.1959242372$$
$$x_{5} = -13923.8893302226$$
$$x_{6} = -27483.0706891032$$
$$x_{7} = 31853.9751169558$$
$$x_{8} = -16465.9233811403$$
$$x_{9} = -36806.0712816239$$
$$x_{10} = -22398.0244870463$$
$$x_{11} = 14057.0754551597$$
$$x_{12} = 21683.7568157916$$
$$x_{13} = -26635.5476191162$$
$$x_{14} = 14904.3955109748$$
$$x_{15} = 22531.2393696277$$
$$x_{16} = -12229.3803334462$$
$$x_{17} = 31006.431036802$$
$$x_{18} = 40329.5550406338$$
$$x_{19} = -19008.1660528024$$
$$x_{20} = -14771.2041667315$$
$$x_{21} = -41043.8958753073$$
$$x_{22} = -23245.5145738415$$
$$x_{23} = 29311.3533195775$$
$$x_{24} = 28463.8203049207$$
$$x_{25} = -41891.4655683296$$
$$x_{26} = 19988.8227026491$$
$$x_{27} = 36939.2975951207$$
$$x_{28} = 27616.2916649137$$
$$x_{29} = 41177.1235072585$$
$$x_{30} = 25921.2492269244$$
$$x_{31} = 15751.746212542$$
$$x_{32} = -33415.8475216438$$
$$x_{33} = -30873.2075577606$$
$$x_{34} = -25788.0298880236$$
$$x_{35} = 17446.5216465877$$
$$x_{36} = 0.0713862413698841$$
$$x_{37} = -30025.6674080004$$
$$x_{38} = -34263.3998761548$$
$$x_{39} = 32701.5223170108$$
$$x_{40} = -35958.5119252501$$
$$x_{41} = 19141.373892605$$
$$x_{42} = -20703.0723806558$$
$$x_{43} = -28330.5986184452$$
$$x_{44} = -42739.0366317825$$
$$x_{45} = 34396.6251537353$$
$$x_{46} = -29178.1309833714$$
$$x_{47} = -19855.6127605554$$
$$x_{48} = 39481.9881103059$$
$$x_{49} = 18293.9395052214$$
$$x_{50} = -13076.6121032154$$
$$x_{51} = -24093.0126984577$$
$$x_{52} = -31720.7511338661$$
$$x_{53} = 30158.890339776$$
$$x_{54} = -17313.3189732721$$
$$x_{55} = 25073.7364333383$$
$$x_{56} = 36091.7379177199$$
$$x_{57} = -18160.7340682844$$
$$x_{58} = -40196.3276394369$$
$$x_{59} = 23378.7307548803$$
$$x_{60} = -39348.7609549151$$
$$x_{61} = -35110.9547364484$$
$$x_{62} = 12362.5525839022$$
$$x_{63} = 20836.2841725987$$
$$x_{64} = -24940.5180406218$$
$$x_{65} = 37786.8592722495$$
$$x_{66} = -21550.5433875739$$
$$x_{67} = -37653.6326591317$$
$$x_{68} = -15618.5504740573$$
$$x_{69} = 42024.6934171877$$
$$x_{70} = 35244.1803843961$$
$$x_{71} = 24226.2300435653$$
$$x_{72} = 33549.0724003603$$
$$x_{73} = 26768.7678154612$$
$$x_{74} = 16599.1228540375$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
True
True
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0.0713862413698841, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.0713862413698841\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(1/(x - 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = \sin{\left(\frac{1}{- x - 1} \right)}$$
- No
$$\sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = - \sin{\left(\frac{1}{- x - 1} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = \sin{\left(\frac{1}{- x - 1} \right)}$$
- No
$$\sin{\left(\frac{1}{x - 1} \right)} = - \sin{\left(\frac{1}{- x - 1} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar