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Trazado el gráfico de la función/ sin(log(x)+2)

Gráfico de la función y = sin(log(x)+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(log(x) + 2)
f(x)=sin⁡(log⁡(x)+2)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\log{\left(x \right)} + 2 \right)} 
f = sin(log(x) + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(log⁡(x)+2)=0\sin{\left(\log{\left(x \right)} + 2 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=e−2x_{1} = e^{-2}
x2=e−2+πx_{2} = e^{-2 + \pi}
Solución numérica
x1=1677.02716585276x_{1} = 1677.02716585276
x2=72.4709148712867x_{2} = 72.4709148712867
x3=3.13175219174858x_{3} = 3.13175219174858
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(log(x) + 2).
sin⁡(log⁡(0)+2)\sin{\left(\log{\left(0 \right)} + 2 \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(log⁡(x)+2)x=0\frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} + 2 \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−2+π2x_{1} = e^{-2 + \frac{\pi}{2}}
x2=e−2+3π2x_{2} = e^{-2 + \frac{3 \pi}{2}}
Signos de extremos en los puntos:
       pi    
  -2 + --    
       2     
(e      , 1)

       3*pi     
  -2 + ----     
        2       
(e        , -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=e−2+3π2x_{1} = e^{-2 + \frac{3 \pi}{2}}
Puntos máximos de la función:
x1=e−2+π2x_{1} = e^{-2 + \frac{\pi}{2}}
Decrece en los intervalos
(−∞,e−2+π2]∪[e−2+3π2,∞)\left(-\infty, e^{-2 + \frac{\pi}{2}}\right] \cup \left[e^{-2 + \frac{3 \pi}{2}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[e−2+π2,e−2+3π2]\left[e^{-2 + \frac{\pi}{2}}, e^{-2 + \frac{3 \pi}{2}}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(log⁡(x)+2)+cos⁡(log⁡(x)+2)x2=0- \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} + 2 \right)} + \cos{\left(\log{\left(x \right)} + 2 \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−2−π4x_{1} = e^{-2 - \frac{\pi}{4}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,e−2−π4]\left(-\infty, e^{-2 - \frac{\pi}{4}}\right]
Convexa en los intervalos
[e−2−π4,∞)\left[e^{-2 - \frac{\pi}{4}}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(log⁡(x)+2)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\log{\left(x \right)} + 2 \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(log⁡(x)+2)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\log{\left(x \right)} + 2 \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(log(x) + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(log⁡(x)+2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} + 2 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(log⁡(x)+2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} + 2 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(log⁡(x)+2)=sin⁡(log⁡(−x)+2)\sin{\left(\log{\left(x \right)} + 2 \right)} = \sin{\left(\log{\left(- x \right)} + 2 \right)}
- No
sin⁡(log⁡(x)+2)=−sin⁡(log⁡(−x)+2)\sin{\left(\log{\left(x \right)} + 2 \right)} = - \sin{\left(\log{\left(- x \right)} + 2 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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