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Trazado el gráfico de la función/ 7/18-3*x/2-exp(-4*x)/3-exp(-2*x)/6-log(3)/12+log(2+exp(2*x))/12+(1/9-2*log(3)/3+2*log(2+exp(2*x))/3)*exp(-6*x)

Gráfico de la función y = 7/18-3*x/2-exp(-4*x)/3-exp(-2*x)/6-log(3)/12+log(2+exp(2*x))/12+(1/9-2*log(3)/3+2*log(2+exp(2*x))/3)*exp(-6*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                   -4*x    -2*x               /     2*x\   /                    /     2*x\\      
       7    3*x   e       e       log(3)   log\2 + e   /   |1   2*log(3)   2*log\2 + e   /|  -6*x
f(x) = -- - --- - ----- - ----- - ------ + ------------- + |- - -------- + ---------------|*e    
       18    2      3       6       12           12        \9      3              3       /
f(x)=(2log⁡(e2x+2)3+(−2log⁡(3)3+19))e−6x+(((((−3x2+718)−e−4x3)−e−2x6)−log⁡(3)12)+log⁡(e2x+2)12)f{\left(x \right)} = \left(\frac{2 \log{\left(e^{2 x} + 2 \right)}}{3} + \left(- \frac{2 \log{\left(3 \right)}}{3} + \frac{1}{9}\right)\right) e^{- 6 x} + \left(\left(\left(\left(\left(- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{18}\right) - \frac{e^{- 4 x}}{3}\right) - \frac{e^{- 2 x}}{6}\right) - \frac{\log{\left(3 \right)}}{12}\right) + \frac{\log{\left(e^{2 x} + 2 \right)}}{12}\right) 
f = ((2*log(exp(2*x) + 2))/3 - 2*log(3)/3 + 1/9)*exp(-6*x) - 3*x/2 + 7/18 - exp(-4*x)/3 - exp(-2*x)/6 - log(3)/12 + log(exp(2*x) + 2)/12
Gráfico de la función
-5.0-4.0-3.0-2.0-1.05.00.01.02.03.04.0-10000000000001000000000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(2log⁡(e2x+2)3+(−2log⁡(3)3+19))e−6x+(((((−3x2+718)−e−4x3)−e−2x6)−log⁡(3)12)+log⁡(e2x+2)12)=0\left(\frac{2 \log{\left(e^{2 x} + 2 \right)}}{3} + \left(- \frac{2 \log{\left(3 \right)}}{3} + \frac{1}{9}\right)\right) e^{- 6 x} + \left(\left(\left(\left(\left(- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{18}\right) - \frac{e^{- 4 x}}{3}\right) - \frac{e^{- 2 x}}{6}\right) - \frac{\log{\left(3 \right)}}{12}\right) + \frac{\log{\left(e^{2 x} + 2 \right)}}{12}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 7/18 - 3*x/2 - exp(-4*x)/3 - exp(-2*x)/6 - log(3)/12 + log(2 + exp(2*x))/12 + (1/9 - 2*log(3)/3 + (2*log(2 + exp(2*x)))/3)*exp(-6*x).
(((−e−06+(−e−03+(−0⋅32+718)))−log⁡(3)12)+log⁡(e0⋅2+2)12)+((−2log⁡(3)3+19)+2log⁡(e0⋅2+2)3)e−0\left(\left(\left(- \frac{e^{- 0}}{6} + \left(- \frac{e^{- 0}}{3} + \left(- \frac{0 \cdot 3}{2} + \frac{7}{18}\right)\right)\right) - \frac{\log{\left(3 \right)}}{12}\right) + \frac{\log{\left(e^{0 \cdot 2} + 2 \right)}}{12}\right) + \left(\left(- \frac{2 \log{\left(3 \right)}}{3} + \frac{1}{9}\right) + \frac{2 \log{\left(e^{0 \cdot 2} + 2 \right)}}{3}\right) e^{- 0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−6(2log⁡(e2x+2)3+(−2log⁡(3)3+19))e−6x−32+e−2x3+4e−4x3+e2x6(e2x+2)+4e−4x3(e2x+2)=0- 6 \left(\frac{2 \log{\left(e^{2 x} + 2 \right)}}{3} + \left(- \frac{2 \log{\left(3 \right)}}{3} + \frac{1}{9}\right)\right) e^{- 6 x} - \frac{3}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{3} + \frac{4 e^{- 4 x}}{3} + \frac{e^{2 x}}{6 \left(e^{2 x} + 2\right)} + \frac{4 e^{- 4 x}}{3 \left(e^{2 x} + 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
      3*log(3)   2*log(3)   log(3) 
(0, -------- - -------- - ------)
         4          3         12


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(6log⁡(e2x+2)−6log⁡(3)+1)e−6x−2e−2x3−16e−4x3+e2x3(e2x+2)−40e−4x3(e2x+2)−e4x3(e2x+2)2−8e−2x3(e2x+2)2=04 \left(6 \log{\left(e^{2 x} + 2 \right)} - 6 \log{\left(3 \right)} + 1\right) e^{- 6 x} - \frac{2 e^{- 2 x}}{3} - \frac{16 e^{- 4 x}}{3} + \frac{e^{2 x}}{3 \left(e^{2 x} + 2\right)} - \frac{40 e^{- 4 x}}{3 \left(e^{2 x} + 2\right)} - \frac{e^{4 x}}{3 \left(e^{2 x} + 2\right)^{2}} - \frac{8 e^{- 2 x}}{3 \left(e^{2 x} + 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=70.25x_{1} = 70.25
x2=86.25x_{2} = 86.25
x3=11.4288103628707x_{3} = 11.4288103628707
x4=84.25x_{4} = 84.25
x5=13.4287630510156x_{5} = 13.4287630510156
x6=42.25x_{6} = 42.25
x7=36x_{7} = 36
x8=74x_{8} = 74
x9=80.5639338169886x_{9} = 80.5639338169886
x10=26.125x_{10} = 26.125
x11=48x_{11} = 48
x12=62x_{12} = 62
x13=32.25x_{13} = 32.25
x14=66.25x_{14} = 66.25
x15=20527176554193.4x_{15} = 20527176554193.4
x16=52.125x_{16} = 52.125
x17=90.25x_{17} = 90.25
x18=18.1875x_{18} = 18.1875
x19=97.25896828674x_{19} = 97.25896828674
x20=76x_{20} = 76
x21=72.3218042291972x_{21} = 72.3218042291972
x22=46x_{22} = 46
x23=28.25x_{23} = 28.25
x24=44.3218042291972x_{24} = 44.3218042291972
x25=7.46696049576747x_{25} = 7.46696049576747
x26=68x_{26} = 68
x27=40.25x_{27} = 40.25
x28=82.125x_{28} = 82.125
x29=94.25x_{29} = 94.25
x30=30.25x_{30} = 30.25
x31=98.25x_{31} = 98.25
x32=9.43029960771265x_{32} = 9.43029960771265
x33=56.3218042291972x_{33} = 56.3218042291972
x34=16.3125x_{34} = 16.3125
x35=60x_{35} = 60
x36=22.25x_{36} = 22.25
x37=100x_{37} = 100
x38=64.25x_{38} = 64.25
x39=68469216696689.7x_{39} = 68469216696689.7
x40=92.4551387651824x_{40} = 92.4551387651824
x41=20.1668176672616x_{41} = 20.1668176672616
x42=38.25x_{42} = 38.25
x43=15.437086172368x_{43} = 15.437086172368
x44=54x_{44} = 54
x45=34x_{45} = 34

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[64.25,∞)\left[64.25, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,11.4288103628707]\left(-\infty, 11.4288103628707\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((2log⁡(e2x+2)3+(−2log⁡(3)3+19))e−6x+(((((−3x2+718)−e−4x3)−e−2x6)−log⁡(3)12)+log⁡(e2x+2)12))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{2 \log{\left(e^{2 x} + 2 \right)}}{3} + \left(- \frac{2 \log{\left(3 \right)}}{3} + \frac{1}{9}\right)\right) e^{- 6 x} + \left(\left(\left(\left(\left(- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{18}\right) - \frac{e^{- 4 x}}{3}\right) - \frac{e^{- 2 x}}{6}\right) - \frac{\log{\left(3 \right)}}{12}\right) + \frac{\log{\left(e^{2 x} + 2 \right)}}{12}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((2log⁡(e2x+2)3+(−2log⁡(3)3+19))e−6x+(((((−3x2+718)−e−4x3)−e−2x6)−log⁡(3)12)+log⁡(e2x+2)12))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{2 \log{\left(e^{2 x} + 2 \right)}}{3} + \left(- \frac{2 \log{\left(3 \right)}}{3} + \frac{1}{9}\right)\right) e^{- 6 x} + \left(\left(\left(\left(\left(- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{18}\right) - \frac{e^{- 4 x}}{3}\right) - \frac{e^{- 2 x}}{6}\right) - \frac{\log{\left(3 \right)}}{12}\right) + \frac{\log{\left(e^{2 x} + 2 \right)}}{12}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 7/18 - 3*x/2 - exp(-4*x)/3 - exp(-2*x)/6 - log(3)/12 + log(2 + exp(2*x))/12 + (1/9 - 2*log(3)/3 + (2*log(2 + exp(2*x)))/3)*exp(-6*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((2log⁡(e2x+2)3+(−2log⁡(3)3+19))e−6x+(((((−3x2+718)−e−4x3)−e−2x6)−log⁡(3)12)+log⁡(e2x+2)12)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{2 \log{\left(e^{2 x} + 2 \right)}}{3} + \left(- \frac{2 \log{\left(3 \right)}}{3} + \frac{1}{9}\right)\right) e^{- 6 x} + \left(\left(\left(\left(\left(- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{18}\right) - \frac{e^{- 4 x}}{3}\right) - \frac{e^{- 2 x}}{6}\right) - \frac{\log{\left(3 \right)}}{12}\right) + \frac{\log{\left(e^{2 x} + 2 \right)}}{12}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((2log⁡(e2x+2)3+(−2log⁡(3)3+19))e−6x+(((((−3x2+718)−e−4x3)−e−2x6)−log⁡(3)12)+log⁡(e2x+2)12)x)=−43\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{2 \log{\left(e^{2 x} + 2 \right)}}{3} + \left(- \frac{2 \log{\left(3 \right)}}{3} + \frac{1}{9}\right)\right) e^{- 6 x} + \left(\left(\left(\left(\left(- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{18}\right) - \frac{e^{- 4 x}}{3}\right) - \frac{e^{- 2 x}}{6}\right) - \frac{\log{\left(3 \right)}}{12}\right) + \frac{\log{\left(e^{2 x} + 2 \right)}}{12}\right)}{x}\right) = - \frac{4}{3}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−4x3y = - \frac{4 x}{3}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(2log⁡(e2x+2)3+(−2log⁡(3)3+19))e−6x+(((((−3x2+718)−e−4x3)−e−2x6)−log⁡(3)12)+log⁡(e2x+2)12)=3x2+(2log⁡(2+e−2x)3−2log⁡(3)3+19)e6x−e4x3−e2x6+log⁡(2+e−2x)12−log⁡(3)12+718\left(\frac{2 \log{\left(e^{2 x} + 2 \right)}}{3} + \left(- \frac{2 \log{\left(3 \right)}}{3} + \frac{1}{9}\right)\right) e^{- 6 x} + \left(\left(\left(\left(\left(- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{18}\right) - \frac{e^{- 4 x}}{3}\right) - \frac{e^{- 2 x}}{6}\right) - \frac{\log{\left(3 \right)}}{12}\right) + \frac{\log{\left(e^{2 x} + 2 \right)}}{12}\right) = \frac{3 x}{2} + \left(\frac{2 \log{\left(2 + e^{- 2 x} \right)}}{3} - \frac{2 \log{\left(3 \right)}}{3} + \frac{1}{9}\right) e^{6 x} - \frac{e^{4 x}}{3} - \frac{e^{2 x}}{6} + \frac{\log{\left(2 + e^{- 2 x} \right)}}{12} - \frac{\log{\left(3 \right)}}{12} + \frac{7}{18}
- No
(2log⁡(e2x+2)3+(−2log⁡(3)3+19))e−6x+(((((−3x2+718)−e−4x3)−e−2x6)−log⁡(3)12)+log⁡(e2x+2)12)=−3x2−(2log⁡(2+e−2x)3−2log⁡(3)3+19)e6x+e4x3+e2x6−log⁡(2+e−2x)12−718+log⁡(3)12\left(\frac{2 \log{\left(e^{2 x} + 2 \right)}}{3} + \left(- \frac{2 \log{\left(3 \right)}}{3} + \frac{1}{9}\right)\right) e^{- 6 x} + \left(\left(\left(\left(\left(- \frac{3 x}{2} + \frac{7}{18}\right) - \frac{e^{- 4 x}}{3}\right) - \frac{e^{- 2 x}}{6}\right) - \frac{\log{\left(3 \right)}}{12}\right) + \frac{\log{\left(e^{2 x} + 2 \right)}}{12}\right) = - \frac{3 x}{2} - \left(\frac{2 \log{\left(2 + e^{- 2 x} \right)}}{3} - \frac{2 \log{\left(3 \right)}}{3} + \frac{1}{9}\right) e^{6 x} + \frac{e^{4 x}}{3} + \frac{e^{2 x}}{6} - \frac{\log{\left(2 + e^{- 2 x} \right)}}{12} - \frac{7}{18} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{12}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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