Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{2 \left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}}{\left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} \left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}}{\left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} \left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}}{\left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} \left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2}, 1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2}\right] \cup \left[1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2}, \infty\right)$$