Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x)-1/(sqrt(x)*2-x-1)

Gráfico de la función y = sqrt(x)-1/(sqrt(x)*2-x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ___          1       
f(x) = \/ x  - ---------------
                 ___          
               \/ x *2 - x - 1
f(x)=x−1(2x−x)−1f{\left(x \right)} = \sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1} 
f = sqrt(x) - 1/(2*sqrt(x) - x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−1(2x−x)−1=0\sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x) - 1/(sqrt(x)*2 - x - 1).
0−1−1+(20−0)\sqrt{0} - \frac{1}{-1 + \left(2 \sqrt{0} - 0\right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1−1x((2x−x)−1)2+12x=0- \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\left(\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1+223+223x_{1} = 1 + 2^{\frac{2}{3}} + 2 \sqrt[3]{2}
Signos de extremos en los puntos:
                        ____________________                                                   
      2/3     3 ___    /      2/3     3 ___                           1                        
(1 + 2    + 2*\/ 2, \/  1 + 2    + 2*\/ 2   - -----------------------------------------------)
                                                                          ____________________ 
                                                     2/3     3 ___       /      2/3     3 ___  
                                               -2 - 2    - 2*\/ 2  + 2*\/  1 + 2    + 2*\/ 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1+223+223x_{1} = 1 + 2^{\frac{2}{3}} + 2 \sqrt[3]{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[1+223+223,∞)\left[1 + 2^{\frac{2}{3}} + 2 \sqrt[3]{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,1+223+223]\left(-\infty, 1 + 2^{\frac{2}{3}} + 2 \sqrt[3]{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1−1x)2(−2x+x+1)3−14x32−12x32(−2x+x+1)2=0\frac{2 \left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}}{\left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} \left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1+961926+5763+21926+5763+402+−21926+5763−961926+5763+448961926+5763+21926+5763+40+802x_{1} = 1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2}
x2=−−21926+5763−961926+5763+448961926+5763+21926+5763+40+802+1+961926+5763+21926+5763+402x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(2(1−1x)2(−2x+x+1)3−14x32−12x32(−2x+x+1)2)=∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}}{\left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} \left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→1+(2(1−1x)2(−2x+x+1)3−14x32−12x32(−2x+x+1)2)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}}{\left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} \left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−−21926+5763−961926+5763+448961926+5763+21926+5763+40+802+1+961926+5763+21926+5763+402,1+961926+5763+21926+5763+402+−21926+5763−961926+5763+448961926+5763+21926+5763+40+802]\left[- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2}, 1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−−21926+5763−961926+5763+448961926+5763+21926+5763+40+802+1+961926+5763+21926+5763+402]∪[1+961926+5763+21926+5763+402+−21926+5763−961926+5763+448961926+5763+21926+5763+40+802,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2}\right] \cup \left[1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−1(2x−x)−1)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x−1(2x−x)−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x) - 1/(sqrt(x)*2 - x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−1(2x−x)−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x−1(2x−x)−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−1(2x−x)−1=−x−1x+2−x−1\sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1} = \sqrt{- x} - \frac{1}{x + 2 \sqrt{- x} - 1}
- No
x−1(2x−x)−1=−−x+1x+2−x−1\sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1} = - \sqrt{- x} + \frac{1}{x + 2 \sqrt{- x} - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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