Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(1+x^2)
-
y^2+1
-
x/(x-1)
-
x/(x^2-1)
- Derivada de:
-
sqrt(x)-1/(sqrt(x)*2-x-1)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x)- uno /(sqrt(x)* dos -x- uno)
- raíz cuadrada de (x) menos 1 dividir por ( raíz cuadrada de (x) multiplicar por 2 menos x menos 1)
- raíz cuadrada de (x) menos uno dividir por ( raíz cuadrada de (x) multiplicar por dos menos x menos uno)
- √(x)-1/(√(x)*2-x-1)
- sqrt(x)-1/(sqrt(x)2-x-1)
- sqrtx-1/sqrtx2-x-1
- sqrt(x)-1 dividir por (sqrt(x)*2-x-1)
-
Expresiones semejantes
- (sqrt(x)-1)/((sqrt(x))^2-x-1)
- sqrt(x-1)/(sqrt(x)*2-x-1)
- (sqrt(x)-1)/sqrt(x^2-x-1)
- sqrt(x)-1/(sqrt(x)*2+x-1)
- sqrt(x)+1/(sqrt(x)*2-x-1)
- sqrt(x)-1/(sqrt(x)*2-x+1)
- sqrt(x-1)/sqrt(x^2-x-1)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(16-x^2)
- sqrt(1+x)
- sqrt(2-x^2)
- sqrt(x^2+4)
- sqrt(1)-x^2
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(16-x^2)
- sqrt(1+x)
- sqrt(2-x^2)
- sqrt(x^2+4)
- sqrt(1)-x^2
Gráfico de la función y = sqrt(x)-1/(sqrt(x)*2-x-1)
Solución
Ha introducido
[src]
___ 1
f(x) = \/ x - ---------------
___
\/ x *2 - x - 1
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1}$$
f = sqrt(x) - 1/(2*sqrt(x) - x - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\left(\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 + 2^{\frac{2}{3}} + 2 \sqrt[3]{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1 + 2^{\frac{2}{3}} + 2 \sqrt[3]{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[1 + 2^{\frac{2}{3}} + 2 \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 + 2^{\frac{2}{3}} + 2 \sqrt[3]{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\left(\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 + 2^{\frac{2}{3}} + 2 \sqrt[3]{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
____________________
2/3 3 ___ / 2/3 3 ___ 1
(1 + 2 + 2*\/ 2, \/ 1 + 2 + 2*\/ 2 - -----------------------------------------------)
____________________
2/3 3 ___ / 2/3 3 ___
-2 - 2 - 2*\/ 2 + 2*\/ 1 + 2 + 2*\/ 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1 + 2^{\frac{2}{3}} + 2 \sqrt[3]{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[1 + 2^{\frac{2}{3}} + 2 \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 + 2^{\frac{2}{3}} + 2 \sqrt[3]{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}}{\left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} \left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}}{\left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} \left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}}{\left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} \left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2}, 1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2}\right] \cup \left[1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}}{\left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} \left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}}{\left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} \left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}}{\left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} \left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2}, 1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2}\right] \cup \left[1 + \frac{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} - \frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + \frac{448}{\sqrt{\frac{96}{\sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576}} + 2 \sqrt[3]{192 \sqrt{6} + 576} + 40}} + 80}}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x) - 1/(sqrt(x)*2 - x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1} = \sqrt{- x} - \frac{1}{x + 2 \sqrt{- x} - 1}$$
- No
$$\sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1} = - \sqrt{- x} + \frac{1}{x + 2 \sqrt{- x} - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1} = \sqrt{- x} - \frac{1}{x + 2 \sqrt{- x} - 1}$$
- No
$$\sqrt{x} - \frac{1}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1} = - \sqrt{- x} + \frac{1}{x + 2 \sqrt{- x} - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar