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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x-1)/(sqrt(x)*2-x-1)

Gráfico de la función y = sqrt(x-1)/(sqrt(x)*2-x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            _______   
          \/ x - 1    
f(x) = ---------------
         ___          
       \/ x *2 - x - 1
f(x)=x−1(2x−x)−1f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x - 1}}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1} 
f = sqrt(x - 1)/(2*sqrt(x) - x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−1(2x−x)−1=0\frac{\sqrt{x - 1}}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x - 1)/(sqrt(x)*2 - x - 1).
−1−1+(20−0)\frac{\sqrt{-1}}{-1 + \left(2 \sqrt{0} - 0\right)}
Resultado:
f(0)=−if{\left(0 \right)} = - i
Punto:
(0, -i)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(1−1x)x−1((2x−x)−1)2+12x−1((2x−x)−1)=0\frac{\left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \sqrt{x - 1}}{\left(\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x - 1} \left(\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
1−1xx−1(−2x+x+1)−x−1(4(1−1x)2−2x+x+1−1x32)2(−2x+x+1)+14(x−1)32−2x+x+1=0\frac{\frac{1 - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x - 1} \left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)} - \frac{\sqrt{x - 1} \left(\frac{4 \left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2}}{- 2 \sqrt{x} + x + 1} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{2 \left(- 2 \sqrt{x} + x + 1\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{- 2 \sqrt{x} + x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−1(2x−x)−1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x−1(2x−x)−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x - 1)/(sqrt(x)*2 - x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−1x((2x−x)−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{x \left(\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x−1x((2x−x)−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{x \left(\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−1(2x−x)−1=−x−1x+2−x−1\frac{\sqrt{x - 1}}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1} = \frac{\sqrt{- x - 1}}{x + 2 \sqrt{- x} - 1}
- No
x−1(2x−x)−1=−−x−1x+2−x−1\frac{\sqrt{x - 1}}{\left(2 \sqrt{x} - x\right) - 1} = - \frac{\sqrt{- x - 1}}{x + 2 \sqrt{- x} - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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