Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ tan(x)^log(x)

Gráfico de la función y = tan(x)^log(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          log(x)   
f(x) = tan      (x)
f(x)=tan⁡log⁡(x)(x)f{\left(x \right)} = \tan^{\log{\left(x \right)}}{\left(x \right)} 
f = tan(x)^log(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
tan⁡log⁡(x)(x)=0\tan^{\log{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=6.28318530370974x_{1} = 6.28318530370974
x2=65.9735708700703x_{2} = 65.9735708700703
x3=28.274316277072x_{3} = 28.274316277072
x4=3.14159265358979x_{4} = 3.14159265358979
x5=43.9823397597472x_{5} = 43.9823397597472
x6=12.5663598871918x_{6} = 12.5663598871918
x7=81.683371975652x_{7} = 81.683371975652
x8=87.964841278635x_{8} = 87.964841278635
x9=72.2566013944781x_{9} = 72.2566013944781
x10=56.5477484312669x_{10} = 56.5477484312669
x11=15.7079964740125x_{11} = 15.7079964740125
x12=34.557159156332x_{12} = 34.557159156332
x13=50.2654438123016x_{13} = 50.2654438123016
x14=78.5383403738266x_{14} = 78.5383403738266
x15=59.6914565259595x_{15} = 59.6914565259595
x16=100.528987324655x_{16} = 100.528987324655
x17=9.42478223248012x_{17} = 9.42478223248012
x18=94.2477938193801x_{18} = 94.2477938193801
x19=37.6996035782383x_{19} = 37.6996035782383
x20=21.991152657512x_{20} = 21.991152657512
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en tan(x)^log(x).
tan⁡log⁡(0)(0)\tan^{\log{\left(0 \right)}}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
((tan⁡2(x)+1)log⁡(x)tan⁡(x)+log⁡(tan⁡(x))x)tan⁡log⁡(x)(x)=0\left(\frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) \tan^{\log{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=87.9646393155135x_{1} = 87.9646393155135
x2=21.991148598791x_{2} = 21.991148598791
x3=15.707963279988x_{3} = 15.707963279988
x4=43.9822999387432x_{4} = 43.9822999387432
x5=9.42477796076939x_{5} = 9.42477796076939
x6=65.9734619854366x_{6} = 65.9734619854366
Signos de extremos en los puntos:
(87.96463931551351, 3.47027052859938e-20)

(21.991148598791014, 2.69751749243283e-24)

(15.707963279988004, 1.54390604463815e-22)

(43.98229993874322, 9.60408374015275e-22)

(9.42477796076939, 4.17957588409192e-32)

(65.97346198543663, 8.67321521994087e-21)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=9.42477796076939x_{1} = 9.42477796076939
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[9.42477796076939,∞)\left[9.42477796076939, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,9.42477796076939]\left(-\infty, 9.42477796076939\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(((tan⁡2(x)+1)log⁡(x)tan⁡(x)+log⁡(tan⁡(x))x)2−(tan⁡2(x)+1)2log⁡(x)tan⁡2(x)+2(tan⁡2(x)+1)log⁡(x)+2(tan⁡2(x)+1)xtan⁡(x)−log⁡(tan⁡(x))x2)tan⁡log⁡(x)(x)=0\left(\left(\frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)^{2} - \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \log{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{x \tan{\left(x \right)}} - \frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}\right) \tan^{\log{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=43.9822971516875x_{1} = 43.9822971516875
x2=65.973445877954x_{2} = 65.973445877954
x3=87.9645956044508x_{3} = 87.9645956044508
x4=37.6991118452492x_{4} = 37.6991118452492
x5=31.4159265361456x_{5} = 31.4159265361456
x6=21.9911485751286x_{6} = 21.9911485751286
x7=25.1327412287192x_{7} = 25.1327412287192

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[31.4159265361456,∞)\left[31.4159265361456, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,21.9911485751286]\left(-\infty, 21.9911485751286\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞tan⁡log⁡(x)(x)y = \lim_{x \to -\infty} \tan^{\log{\left(x \right)}}{\left(x \right)}
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞tan⁡log⁡(x)(x)y = \lim_{x \to \infty} \tan^{\log{\left(x \right)}}{\left(x \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan(x)^log(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(tan⁡log⁡(x)(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan^{\log{\left(x \right)}}{\left(x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(tan⁡log⁡(x)(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan^{\log{\left(x \right)}}{\left(x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
tan⁡log⁡(x)(x)=(−tan⁡(x))log⁡(−x)\tan^{\log{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = \left(- \tan{\left(x \right)}\right)^{\log{\left(- x \right)}}
- No
tan⁡log⁡(x)(x)=−(−tan⁡(x))log⁡(−x)\tan^{\log{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = - \left(- \tan{\left(x \right)}\right)^{\log{\left(- x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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