Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\left(\frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) \tan^{\log{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 87.9646393155135$$
$$x_{2} = 21.991148598791$$
$$x_{3} = 15.707963279988$$
$$x_{4} = 43.9822999387432$$
$$x_{5} = 9.42477796076939$$
$$x_{6} = 65.9734619854366$$
Signos de extremos en los puntos:
(87.96463931551351, 3.47027052859938e-20)
(21.991148598791014, 2.69751749243283e-24)
(15.707963279988004, 1.54390604463815e-22)
(43.98229993874322, 9.60408374015275e-22)
(9.42477796076939, 4.17957588409192e-32)
(65.97346198543663, 8.67321521994087e-21)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 9.42477796076939$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[9.42477796076939, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 9.42477796076939\right]$$