Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ((sin(x)+x*cos(x))/(cos(x)+x*sin(x)))

Gráfico de la función y = ((sin(x)+x*cos(x))/(cos(x)+x*sin(x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       sin(x) + x*cos(x)
f(x) = -----------------
       cos(x) + x*sin(x)
f(x)=xcos⁡(x)+sin⁡(x)xsin⁡(x)+cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}} 
f = (x*cos(x) + sin(x))/(x*sin(x) + cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xcos⁡(x)+sin⁡(x)xsin⁡(x)+cos⁡(x)=0\frac{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−64.4181717218392x_{1} = -64.4181717218392
x2=−45.57503179559x_{2} = -45.57503179559
x3=70.69997803861x_{3} = 70.69997803861
x4=−51.855560729152x_{4} = -51.855560729152
x5=−48.7152107175577x_{5} = -48.7152107175577
x6=−7.97866571241324x_{6} = -7.97866571241324
x7=89.5465575382492x_{7} = 89.5465575382492
x8=−42.4350618814099x_{8} = -42.4350618814099
x9=64.4181717218392x_{9} = 64.4181717218392
x10=36.1559664195367x_{10} = 36.1559664195367
x11=−29.8785865061074x_{11} = -29.8785865061074
x12=−98.9702722883957x_{12} = -98.9702722883957
x13=45.57503179559x_{13} = 45.57503179559
x14=−73.8409691490209x_{14} = -73.8409691490209
x15=98.9702722883957x_{15} = 98.9702722883957
x16=95.8290108090195x_{16} = 95.8290108090195
x17=14.2074367251912x_{17} = 14.2074367251912
x18=80.1230928148503x_{18} = 80.1230928148503
x19=−20.469167402741x_{19} = -20.469167402741
x20=73.8409691490209x_{20} = 73.8409691490209
x21=−58.1366632448992x_{21} = -58.1366632448992
x22=4.91318043943488x_{22} = 4.91318043943488
x23=−17.3363779239834x_{23} = -17.3363779239834
x24=−61.2773745335697x_{24} = -61.2773745335697
x25=23.6042847729804x_{25} = 23.6042847729804
x26=−39.295350981473x_{26} = -39.295350981473
x27=58.1366632448992x_{27} = 58.1366632448992
x28=−54.9960525574964x_{28} = -54.9960525574964
x29=83.2642147040886x_{29} = 83.2642147040886
x30=39.295350981473x_{30} = 39.295350981473
x31=20.469167402741x_{31} = 20.469167402741
x32=51.855560729152x_{32} = 51.855560729152
x33=92.687771772017x_{33} = 92.687771772017
x34=17.3363779239834x_{34} = 17.3363779239834
x35=0x_{35} = 0
x36=−67.5590428388084x_{36} = -67.5590428388084
x37=−11.085538406497x_{37} = -11.085538406497
x38=7.97866571241324x_{38} = 7.97866571241324
x39=−95.8290108090195x_{39} = -95.8290108090195
x40=−14.2074367251912x_{40} = -14.2074367251912
x41=67.5590428388084x_{41} = 67.5590428388084
x42=−70.69997803861x_{42} = -70.69997803861
x43=−23.6042847729804x_{43} = -23.6042847729804
x44=11.085538406497x_{44} = 11.085538406497
x45=−4.91318043943488x_{45} = -4.91318043943488
x46=−76.9820093304187x_{46} = -76.9820093304187
x47=2.02875783811043x_{47} = 2.02875783811043
x48=−26.7409160147873x_{48} = -26.7409160147873
x49=26.7409160147873x_{49} = 26.7409160147873
x50=54.9960525574964x_{50} = 54.9960525574964
x51=−89.5465575382492x_{51} = -89.5465575382492
x52=−36.1559664195367x_{52} = -36.1559664195367
x53=−83.2642147040886x_{53} = -83.2642147040886
x54=86.4053708116885x_{54} = 86.4053708116885
x55=61.2773745335697x_{55} = 61.2773745335697
x56=76.9820093304187x_{56} = 76.9820093304187
x57=−92.687771772017x_{57} = -92.687771772017
x58=42.4350618814099x_{58} = 42.4350618814099
x59=−86.4053708116885x_{59} = -86.4053708116885
x60=48.7152107175577x_{60} = 48.7152107175577
x61=−33.0170010333572x_{61} = -33.0170010333572
x62=33.0170010333572x_{62} = 33.0170010333572
x63=−80.1230928148503x_{63} = -80.1230928148503
x64=−2.02875783811043x_{64} = -2.02875783811043
x65=29.8785865061074x_{65} = 29.8785865061074
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (sin(x) + x*cos(x))/(cos(x) + x*sin(x)).
sin⁡(0)+0cos⁡(0)0sin⁡(0)+cos⁡(0)\frac{\sin{\left(0 \right)} + 0 \cos{\left(0 \right)}}{0 \sin{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x(xcos⁡(x)+sin⁡(x))cos⁡(x)(xsin⁡(x)+cos⁡(x))2+−xsin⁡(x)+2cos⁡(x)xsin⁡(x)+cos⁡(x)=0- \frac{x \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} + \frac{- x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.890058611706673x_{1} = 0.890058611706673
x2=−0.890058611706673x_{2} = -0.890058611706673
Signos de extremos en los puntos:
(0.8900586117066734, 1.01229561078117)

(-0.8900586117066734, -1.01229561078117)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−0.890058611706673x_{1} = -0.890058611706673
Puntos máximos de la función:
x1=0.890058611706673x_{1} = 0.890058611706673
Decrece en los intervalos
[−0.890058611706673,0.890058611706673]\left[-0.890058611706673, 0.890058611706673\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−0.890058611706673]∪[0.890058611706673,∞)\left(-\infty, -0.890058611706673\right] \cup \left[0.890058611706673, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(xcos⁡(x)+sin⁡(x)xsin⁡(x)+cos⁡(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(xcos⁡(x)+sin⁡(x)xsin⁡(x)+cos⁡(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (sin(x) + x*cos(x))/(cos(x) + x*sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(xcos⁡(x)+sin⁡(x)x(xsin⁡(x)+cos⁡(x)))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(xcos⁡(x)+sin⁡(x)x(xsin⁡(x)+cos⁡(x)))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xcos⁡(x)+sin⁡(x)xsin⁡(x)+cos⁡(x)=−xcos⁡(x)−sin⁡(x)xsin⁡(x)+cos⁡(x)\frac{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}} = \frac{- x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}
- No
xcos⁡(x)+sin⁡(x)xsin⁡(x)+cos⁡(x)=−−xcos⁡(x)−sin⁡(x)xsin⁡(x)+cos⁡(x)\frac{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}} = - \frac{- x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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