Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(1/cos(x))

Gráfico de la función y = sin(1/cos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /  1   \
f(x) = sin|------|
          \cos(x)/
f(x)=sin⁡(1cos⁡(x))f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} \right)} 
f = sin(1/cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1.5707963267949x_{1} = 1.5707963267949
x2=4.71238898038469x_{2} = 4.71238898038469
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(1cos⁡(x))=0\sin{\left(\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−acos⁡(1π)+2πx_{1} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\pi} \right)} + 2 \pi
x2=acos⁡(1π)x_{2} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\pi} \right)}
Solución numérica
x1=−30.169076316035x_{1} = -30.169076316035
x2=27.0274836624452x_{2} = 27.0274836624452
x3=−76.8091853865648x_{3} = -76.8091853865648
x4=96.1425220414207x_{4} = 96.1425220414207
x5=−36.4522616232146x_{5} = -36.4522616232146
x6=−80.4345587734717x_{6} = -80.4345587734717
x7=−140.124819191678x_{7} = -140.124819191678
x8=−60.937110638069x_{8} = -60.937110638069
x9=−35.8043694093506x_{9} = -35.8043694093506
x10=588.724676441154x_{10} = 588.724676441154
x11=23.2379987949915x_{11} = 23.2379987949915
x12=−346.82204211474x_{12} = -346.82204211474
x13=42.2516661970771x_{13} = 42.2516661970771
x14=52.1602248911636x_{14} = 52.1602248911636
x15=−33.3106689696248x_{15} = -33.3106689696248
x16=−102.4257073486x_{16} = -102.4257073486
x17=−1.89474243372688x_{17} = -1.89474243372688
x18=−79.7866665596078x_{18} = -79.7866665596078
x19=57.7955179844792x_{19} = 57.7955179844792
x20=−45.22914737012x_{20} = -45.22914737012
x21=−67.8681881591125x_{21} = -67.8681881591125
x22=−96.1425220414207x_{22} = -96.1425220414207
x23=64.2428147722056x_{23} = 64.2428147722056
x24=−58.4434101983432x_{24} = -58.4434101983432
x25=−64.5624840249759x_{25} = -64.5624840249759
x26=−95.9784105608738x_{26} = -95.9784105608738
x27=−1.24685021986292x_{27} = -1.24685021986292
x28=167.751260860122x_{28} = 167.751260860122
x29=−73.5034812524282x_{29} = -73.5034812524282
x30=10.8357396611791x_{30} = 10.8357396611791
x31=−82.9282592131975x_{31} = -82.9282592131975
x32=−67.6505454465008x_{32} = -67.6505454465008
x33=35.8043694093506x_{33} = 35.8043694093506
x34=−4.38844287345271x_{34} = -4.38844287345271
x35=−23.8858910088554x_{35} = -23.8858910088554
x36=86.0698518667873x_{36} = 86.0698518667873
x37=14.461113048086x_{37} = 14.461113048086
x38=−20.7442983552656x_{38} = -20.7442983552656
x39=79.7866665596078x_{39} = 79.7866665596078
x40=−57.7955179844792x_{40} = -57.7955179844792
x41=95.4946298275567x_{41} = 95.4946298275567
x42=−89.8593367342411x_{42} = -89.8593367342411
x43=−16.9548134878119x_{43} = -16.9548134878119
x44=74.1513734662921x_{44} = 74.1513734662921
x45=30.0049648354882x_{45} = 30.0049648354882
x46=−64.0787032916588x_{46} = -64.0787032916588
x47=−95.4946298275567x_{47} = -95.4946298275567
x48=89.2114445203771x_{48} = 89.2114445203771
x49=−8.17792774090646x_{49} = -8.17792774090646
x50=−45.877039583984x_{50} = -45.877039583984
x51=8.17792774090646x_{51} = 8.17792774090646
x52=13.9773323147689x_{52} = 13.9773323147689
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(1/cos(x)).
sin⁡(1cos⁡(0))\sin{\left(\frac{1}{\cos{\left(0 \right)}} \right)}
Resultado:
f(0)=sin⁡(1)f{\left(0 \right)} = \sin{\left(1 \right)}
Punto:
(0, sin(1))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)cos⁡(1cos⁡(x))cos⁡2(x)=0\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−2atan⁡(2+π−2+π)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 + \pi}}{\sqrt{-2 + \pi}} \right)}
x3=2atan⁡(2+π−2+π)x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 + \pi}}{\sqrt{-2 + \pi}} \right)}
x4=−2atan⁡(−2+π2+π)x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{-2 + \pi}}{\sqrt{2 + \pi}} \right)}
x5=2atan⁡(−2+π2+π)x_{5} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{-2 + \pi}}{\sqrt{2 + \pi}} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
(0, sin(1))

        /   ________\                                
        | \/ 2 + pi |     /           1            \ 
(-2*atan|-----------|, sin|------------------------|)
        |  _________|     |   /      /   ________\\| 
        \\/ -2 + pi /     |   |      | \/ 2 + pi ||| 
                          |cos|2*atan|-----------||| 
                          |   |      |  _________||| 
                          \   \      \\/ -2 + pi /// 

       /   ________\                                
       | \/ 2 + pi |     /           1            \ 
(2*atan|-----------|, sin|------------------------|)
       |  _________|     |   /      /   ________\\| 
       \\/ -2 + pi /     |   |      | \/ 2 + pi ||| 
                         |cos|2*atan|-----------||| 
                         |   |      |  _________||| 
                         \   \      \\/ -2 + pi /// 

        /  _________\                                
        |\/ -2 + pi |     /           1            \ 
(-2*atan|-----------|, sin|------------------------|)
        |   ________|     |   /      /  _________\\| 
        \ \/ 2 + pi /     |   |      |\/ -2 + pi ||| 
                          |cos|2*atan|-----------||| 
                          |   |      |   ________||| 
                          \   \      \ \/ 2 + pi /// 

       /  _________\                                
       |\/ -2 + pi |     /           1            \ 
(2*atan|-----------|, sin|------------------------|)
       |   ________|     |   /      /  _________\\| 
       \ \/ 2 + pi /     |   |      |\/ -2 + pi ||| 
                         |cos|2*atan|-----------||| 
                         |   |      |   ________||| 
                         \   \      \ \/ 2 + pi ///


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
x2=−2atan⁡(2+π−2+π)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 + \pi}}{\sqrt{-2 + \pi}} \right)}
x3=2atan⁡(2+π−2+π)x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 + \pi}}{\sqrt{-2 + \pi}} \right)}
Puntos máximos de la función:
x3=−2atan⁡(−2+π2+π)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{-2 + \pi}}{\sqrt{2 + \pi}} \right)}
x3=2atan⁡(−2+π2+π)x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{-2 + \pi}}{\sqrt{2 + \pi}} \right)}
Decrece en los intervalos
[2atan⁡(2+π−2+π),∞)\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 + \pi}}{\sqrt{-2 + \pi}} \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(2+π−2+π)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 + \pi}}{\sqrt{-2 + \pi}} \right)}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1.5707963267949x_{1} = 1.5707963267949
x2=4.71238898038469x_{2} = 4.71238898038469
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞sin⁡(1cos⁡(x))y = \lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} \right)}
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞sin⁡(1cos⁡(x))y = \lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(1/cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(sin⁡(1cos⁡(x))x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(sin⁡(1cos⁡(x))x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(1cos⁡(x))=sin⁡(1cos⁡(x))\sin{\left(\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} \right)} = \sin{\left(\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} \right)}
- Sí
sin⁡(1cos⁡(x))=−sin⁡(1cos⁡(x))\sin{\left(\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} \right)} = - \sin{\left(\frac{1}{\cos{\left(x \right)}} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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