Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (ln(1+2x))/x

Gráfico de la función y = (ln(1+2x))/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(1 + 2*x)
f(x) = ------------
            x
f(x)=log⁡(2x+1)xf{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{x} 
f = log(2*x + 1)/x
Gráfico de la función
0.0000.1000.0100.0200.0300.0400.0500.0600.0700.0800.0901.82.2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(2x+1)x=0\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(1 + 2*x)/x.
log⁡(0⋅2+1)0\frac{\log{\left(0 \cdot 2 + 1 \right)}}{0}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x(2x+1)−log⁡(2x+1)x2=0\frac{2}{x \left(2 x + 1\right)} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2(2x+1)2−2x(2x+1)+log⁡(2x+1)x2)x=0\frac{2 \left(- \frac{2}{\left(2 x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(2 x + 1\right)} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=32868.6031075777x_{1} = 32868.6031075777
x2=40522.8396945581x_{2} = 40522.8396945581
x3=38341.9999597708x_{3} = 38341.9999597708
x4=55682.0934044424x_{4} = 55682.0934044424
x5=49205.7370710734x_{5} = 49205.7370710734
x6=31769.8411051582x_{6} = 31769.8411051582
x7=29567.7102821871x_{7} = 29567.7102821871
x8=43786.0795346126x_{8} = 43786.0795346126
x9=51367.6002557551x_{9} = 51367.6002557551
x10=42699.3517060016x_{10} = 42699.3517060016
x11=48123.5721505454x_{11} = 48123.5721505454
x12=33965.9238802516x_{12} = 33965.9238802516
x13=35061.8671898072x_{13} = 35061.8671898072
x14=25142.6433221264x_{14} = 25142.6433221264
x15=52447.3454745651x_{15} = 52447.3454745651
x16=27358.8983463137x_{16} = 27358.8983463137
x17=54604.5718744886x_{17} = 54604.5718744886
x18=53526.3291250203x_{18} = 53526.3291250203
x19=47040.5515676795x_{19} = 47040.5515676795
x20=28464.1836433919x_{20} = 28464.1836433919
x21=45956.648478981x_{21} = 45956.648478981
x22=41611.6171148551x_{22} = 41611.6171148551
x23=36156.4919308129x_{23} = 36156.4919308129
x24=37249.8526431002x_{24} = 37249.8526431002
x25=26251.754901734x_{25} = 26251.754901734
x26=56758.9124767411x_{26} = 56758.9124767411
x27=30669.5686339675x_{27} = 30669.5686339675
x28=50287.0717426753x_{28} = 50287.0717426753
x29=44871.8344922195x_{29} = 44871.8344922195
x30=39432.9809969818x_{30} = 39432.9809969818
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2(−2(2x+1)2−2x(2x+1)+log⁡(2x+1)x2)x)=163\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{2}{\left(2 x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(2 x + 1\right)} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = \frac{16}{3}
lim⁡x→0+(2(−2(2x+1)2−2x(2x+1)+log⁡(2x+1)x2)x)=163\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{2}{\left(2 x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(2 x + 1\right)} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = \frac{16}{3}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(2x+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(2x+1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(1 + 2*x)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(2x+1)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(2x+1)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(2x+1)x=−log⁡(1−2x)x\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{x} = - \frac{\log{\left(1 - 2 x \right)}}{x}
- No
log⁡(2x+1)x=log⁡(1−2x)x\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{x} = \frac{\log{\left(1 - 2 x \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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