Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ x*atan(x)-log(sqrt(1+x^x))

Gráfico de la función y = x*atan(x)-log(sqrt(1+x^x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                      /   ________\
                      |  /      x |
f(x) = x*atan(x) - log\\/  1 + x  /
f(x)=xatan⁡(x)−log⁡(xx+1)f{\left(x \right)} = x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \log{\left(\sqrt{x^{x} + 1} \right)} 
f = x*atan(x) - log(sqrt(x^x + 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xatan⁡(x)−log⁡(xx+1)=0x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \log{\left(\sqrt{x^{x} + 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.543480771845055x_{1} = 0.543480771845055
x2=21.0442241832398x_{2} = 21.0442241832398
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*atan(x) - log(sqrt(1 + x^x)).
−log⁡(1+00)+0atan⁡(0)- \log{\left(\sqrt{1 + 0^{0}} \right)} + 0 \operatorname{atan}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=−log⁡(2)f{\left(0 \right)} = - \log{\left(\sqrt{2} \right)}
Punto:
(0, -log(sqrt(2)))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xx2+1−xx(log⁡(x)+1)2(xx+1)+atan⁡(x)=0\frac{x}{x^{2} + 1} - \frac{x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{2 \left(x^{x} + 1\right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=8.49479164794845x_{1} = 8.49479164794845
Signos de extremos en los puntos:
(8.494791647948448, 3.2610640408993)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=8.49479164794845x_{1} = 8.49479164794845
Decrece en los intervalos
(−∞,8.49479164794845]\left(-\infty, 8.49479164794845\right]
Crece en los intervalos
[8.49479164794845,∞)\left[8.49479164794845, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2x2(x2+1)2+x2x(log⁡(x)+1)22(xx+1)2−xx(log⁡(x)+1)22(xx+1)+2x2+1−xx2x(xx+1)=0- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{x^{2 x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{2 \left(x^{x} + 1\right)^{2}} - \frac{x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{2 \left(x^{x} + 1\right)} + \frac{2}{x^{2} + 1} - \frac{x^{x}}{2 x \left(x^{x} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5872.16496487203x_{1} = -5872.16496487203
x2=−7834.50809914307x_{2} = -7834.50809914307
x3=−7180.37617152655x_{3} = -7180.37617152655
x4=−8924.7536378931x_{4} = -8924.7536378931
x5=−3038.32842713011x_{5} = -3038.32842713011
x6=−6526.26003439859x_{6} = -6526.26003439859
x7=−9796.96699434244x_{7} = -9796.96699434244
x8=−6962.33548485855x_{8} = -6962.33548485855
x9=−2820.43063129763x_{9} = -2820.43063129763
x10=−7616.46261991846x_{10} = -7616.46261991846
x11=−10669.1913982958x_{11} = -10669.1913982958
x12=−10233.077991942x_{12} = -10233.077991942
x13=−3256.24931331413x_{13} = -3256.24931331413
x14=−9142.80576838842x_{14} = -9142.80576838842
x15=−10015.0221723804x_{15} = -10015.0221723804
x16=−2384.72963559829x_{16} = -2384.72963559829
x17=−4564.07426263338x_{17} = -4564.07426263338
x18=−9578.91250164004x_{18} = -9578.91250164004
x19=−10887.2489142964x_{19} = -10887.2489142964
x20=−5436.11704511642x_{20} = -5436.11704511642
x21=−10451.1344128714x_{21} = -10451.1344128714
x22=−4346.07850227688x_{22} = -4346.07850227688
x23=−6744.29670865211x_{23} = -6744.29670865211
x24=−6090.19389482623x_{24} = -6090.19389482623
x25=−8052.55491888496x_{25} = -8052.55491888496
x26=−4128.09060915202x_{26} = -4128.09060915202
x27=−3474.18894395757x_{27} = -3474.18894395757
x28=−5654.13922052868x_{28} = -5654.13922052868
x29=−3692.14399917033x_{29} = -3692.14399917033
x30=−5000.08526864214x_{30} = -5000.08526864214
x31=−8488.65216670301x_{31} = -8488.65216670301
x32=−6308.22568006372x_{32} = -6308.22568006372
x33=−4782.07681421029x_{33} = -4782.07681421029
x34=−8706.70241404134x_{34} = -8706.70241404134
x35=−7398.41859973827x_{35} = -7398.41859973827
x36=−3910.11189921258x_{36} = -3910.11189921258
x37=−9360.85874216758x_{37} = -9360.85874216758
x38=−2602.56172706859x_{38} = -2602.56172706859
x39=−5218.09888601772x_{39} = -5218.09888601772
x40=−8270.60297311623x_{40} = -8270.60297311623

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−5436.11704511642,∞)\left[-5436.11704511642, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−8052.55491888496]\left(-\infty, -8052.55491888496\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xatan⁡(x)−log⁡(xx+1))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \log{\left(\sqrt{x^{x} + 1} \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xatan⁡(x)−log⁡(xx+1))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \log{\left(\sqrt{x^{x} + 1} \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xatan⁡(x)−log⁡(xx+1)=xatan⁡(x)−log⁡(1+(−x)−x)x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \log{\left(\sqrt{x^{x} + 1} \right)} = x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \log{\left(\sqrt{1 + \left(- x\right)^{- x}} \right)}
- No
xatan⁡(x)−log⁡(xx+1)=−xatan⁡(x)+log⁡(1+(−x)−x)x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \log{\left(\sqrt{x^{x} + 1} \right)} = - x \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \log{\left(\sqrt{1 + \left(- x\right)^{- x}} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор