Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(4*x^3-2)^(6)

Gráfico de la función y = sin(4*x^3-2)^(6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          6/   3    \
f(x) = sin \4*x  - 2/
f(x)=sin⁡6(4x3−2)f{\left(x \right)} = \sin^{6}{\left(4 x^{3} - 2 \right)} 
f = sin(4*x^3 - 2)^6
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡6(4x3−2)=0\sin^{6}{\left(4 x^{3} - 2 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2232x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}
x2=4+2π32x_{2} = \frac{\sqrt[3]{4 + 2 \pi}}{2}
Solución numérica
x1=−47.7499971151681x_{1} = -47.7499971151681
x2=−59.7500045773635x_{2} = -59.7500045773635
x3=9.33467244121067x_{3} = 9.33467244121067
x4=56.839324284264x_{4} = 56.839324284264
x5=22.4448640738062x_{5} = 22.4448640738062
x6=−53.9999975483649x_{6} = -53.9999975483649
x7=−66.6812249695176x_{7} = -66.6812249695176
x8=−92.0000002636978x_{8} = -92.0000002636978
x9=−57.1126121486424x_{9} = -57.1126121486424
x10=−93.999999147302x_{10} = -93.999999147302
x11=−36.3294965020417x_{11} = -36.3294965020417
x12=−100.047201535159x_{12} = -100.047201535159
x13=51.9999972356919x_{13} = 51.9999972356919
x14=78.2805087981279x_{14} = 78.2805087981279
x15=−79.7115017902722x_{15} = -79.7115017902722
x16=46.2499951861813x_{16} = 46.2499951861813
x17=66.2499948309935x_{17} = 66.2499948309935
x18=301805.892775614x_{18} = 301805.892775614
x19=−95.7268424684403x_{19} = -95.7268424684403
x20=−34.0038397447035x_{20} = -34.0038397447035
x21=−45.749998586462x_{21} = -45.749998586462
x22=36.2574038041822x_{22} = 36.2574038041822
x23=36.1407267379598x_{23} = 36.1407267379598
x24=67.5015395441636x_{24} = 67.5015395441636
x25=−2.01139510040157x_{25} = -2.01139510040157
x26=90.0000002673152x_{26} = 90.0000002673152
x27=−62.4091128685558x_{27} = -62.4091128685558
x28=72.2499980066085x_{28} = 72.2499980066085
x29=96.5964081016123x_{29} = 96.5964081016123
x30=62.0000001590408x_{30} = 62.0000001590408
x31=−77.9999996215437x_{31} = -77.9999996215437
x32=−58.0000038642258x_{32} = -58.0000038642258
x33=236.200856067296x_{33} = 236.200856067296
x34=−6.47324258852924x_{34} = -6.47324258852924
x35=−31.7500199637014x_{35} = -31.7500199637014
x36=50.0166125691795x_{36} = 50.0166125691795
x37=−77.1117062031673x_{37} = -77.1117062031673
x38=6.28193164498817x_{38} = 6.28193164498817
x39=19.6480845509533x_{39} = 19.6480845509533
x40=48.2499880225706x_{40} = 48.2499880225706
x41=54.7447559551347x_{41} = 54.7447559551347
x42=20.2499713754904x_{42} = 20.2499713754904
x43=85.9999994738053x_{43} = 85.9999994738053
x44=−65.7500014297873x_{44} = -65.7500014297873
x45=−18.2162279787762x_{45} = -18.2162279787762
x46=75.8434883004887x_{46} = 75.8434883004887
x47=−40.0000051883885x_{47} = -40.0000051883885
x48=2.25674649188682x_{48} = 2.25674649188682
x49=29.9953940035126x_{49} = 29.9953940035126
x50=4.2485240495142x_{50} = 4.2485240495142
x51=41.891060064869x_{51} = 41.891060064869
x52=1.73379088258958x_{52} = 1.73379088258958
x53=94.250000680315x_{53} = 94.250000680315
x54=98.4624175278976x_{54} = 98.4624175278976
x55=16.2521266647491x_{55} = 16.2521266647491
x56=−19.5271242846038x_{56} = -19.5271242846038
x57=79.9999995909809x_{57} = 79.9999995909809
x58=92.4828688930353x_{58} = 92.4828688930353
x59=85.8704266833141x_{59} = 85.8704266833141
x60=−49.7541064589924x_{60} = -49.7541064589924
x61=72.1629787484219x_{61} = 72.1629787484219
x62=−43.7499980637135x_{62} = -43.7499980637135
x63=64.24992617074x_{63} = 64.24992617074
x64=−20.6657633659863x_{64} = -20.6657633659863
x65=58.5572424883775x_{65} = 58.5572424883775
x66=12.2501449491354x_{66} = 12.2501449491354
x67=34.435169518078x_{67} = 34.435169518078
x68=43.9999999002296x_{68} = 43.9999999002296
x69=−69.9000101437904x_{69} = -69.9000101437904
x70=−97.3682747479228x_{70} = -97.3682747479228
x71=−17.7499599849434x_{71} = -17.7499599849434
x72=−41.750011794144x_{72} = -41.750011794144
x73=72.7288335788154x_{73} = 72.7288335788154
x74=−37.7500052617678x_{74} = -37.7500052617678
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(4*x^3 - 2)^6.
sin⁡6(−2+4⋅03)\sin^{6}{\left(-2 + 4 \cdot 0^{3} \right)}
Resultado:
f(0)=sin⁡6(2)f{\left(0 \right)} = \sin^{6}{\left(2 \right)}
Punto:
(0, sin(2)^6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
72x2sin⁡5(4x3−2)cos⁡(4x3−2)=072 x^{2} \sin^{5}{\left(4 x^{3} - 2 \right)} \cos{\left(4 x^{3} - 2 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=2232x_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}
x3=4−π32x_{3} = \frac{\sqrt[3]{4 - \pi}}{2}
x4=π+432x_{4} = \frac{\sqrt[3]{\pi + 4}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
       6    
(0, sin (2))

  2/3    
 2       
(----, 0)
  2      

 3 ________    
 \/ 4 - pi     
(----------, 1)
     2         

 3 ________    
 \/ 4 + pi     
(----------, 1)
     2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
x2=2232x_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=4−π32x_{2} = \frac{\sqrt[3]{4 - \pi}}{2}
x2=π+432x_{2} = \frac{\sqrt[3]{\pi + 4}}{2}
Decrece en los intervalos
[0,4−π32]∪[2232,∞)\left[0, \frac{\sqrt[3]{4 - \pi}}{2}\right] \cup \left[\frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
144x(−6x3sin⁡2(2(2x3−1))+30x3cos⁡2(2(2x3−1))+sin⁡(2(2x3−1))cos⁡(2(2x3−1)))sin⁡4(2(2x3−1))=0144 x \left(- 6 x^{3} \sin^{2}{\left(2 \left(2 x^{3} - 1\right) \right)} + 30 x^{3} \cos^{2}{\left(2 \left(2 x^{3} - 1\right) \right)} + \sin{\left(2 \left(2 x^{3} - 1\right) \right)} \cos{\left(2 \left(2 x^{3} - 1\right) \right)}\right) \sin^{4}{\left(2 \left(2 x^{3} - 1\right) \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2.89826763071625x_{1} = -2.89826763071625
x2=0x_{2} = 0
x3=14.0869495115326x_{3} = 14.0869495115326

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[14.0869495115326,∞)\left[14.0869495115326, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−2.89826763071625,0]\left[-2.89826763071625, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡6(4x3−2)=⟨0,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin^{6}{\left(4 x^{3} - 2 \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡6(4x3−2)=⟨0,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin^{6}{\left(4 x^{3} - 2 \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(4*x^3 - 2)^6, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡6(4x3−2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{6}{\left(4 x^{3} - 2 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡6(4x3−2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{6}{\left(4 x^{3} - 2 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡6(4x3−2)=sin⁡6(4x3+2)\sin^{6}{\left(4 x^{3} - 2 \right)} = \sin^{6}{\left(4 x^{3} + 2 \right)}
- No
sin⁡6(4x3−2)=−sin⁡6(4x3+2)\sin^{6}{\left(4 x^{3} - 2 \right)} = - \sin^{6}{\left(4 x^{3} + 2 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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