Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
x^3/
-
x^4-3*x^2+4
-
Expresiones idénticas
- cos^ dos (dos *x)-sin^ dos (dos *x)
- coseno de al cuadrado (2 multiplicar por x) menos seno de al cuadrado (2 multiplicar por x)
- coseno de en el grado dos (dos multiplicar por x) menos seno de en el grado dos (dos multiplicar por x)
- cos2(2*x)-sin2(2*x)
- cos22*x-sin22*x
- cos²(2*x)-sin²(2*x)
- cos en el grado 2(2*x)-sin en el grado 2(2*x)
- cos^2(2x)-sin^2(2x)
- cos2(2x)-sin2(2x)
- cos22x-sin22x
- cos^22x-sin^22x
-
Expresiones semejantes
- cos^2(2*x)+sin^2(2*x)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x*sqrt(5))+sin(x*sqrt(5))
- cos(x)^2/(2*(1+cos(x)^2))
- cos(x)-exp(x)+(0,5)
- cos(x)/2-2
- cos^2(2x)+3
- Seno sin
- sin(x)+x^2-1
- sin(x^2-x)
- sin(pi*6*x)
- sin(e^x+1)*log(x)
- sin((pi*x)/0.006)
Gráfico de la función y = cos^2(2*x)-sin^2(2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 f(x) = cos (2*x) - sin (2*x)
$$f{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}$$
f = -sin(2*x)^2 + cos(2*x)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{8}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 26.3108384738145$$
$$x_{2} = 4.31968989868597$$
$$x_{3} = -82.0741080750334$$
$$x_{4} = -10.6028752058656$$
$$x_{5} = 20.0276531666349$$
$$x_{6} = -86.0010988920206$$
$$x_{7} = -20.8130513300324$$
$$x_{8} = -49.872783375738$$
$$x_{9} = -68.7223392972767$$
$$x_{10} = -21.5984494934298$$
$$x_{11} = 48.3019870489431$$
$$x_{12} = 71.8639319508665$$
$$x_{13} = -9.8174770424681$$
$$x_{14} = 96.9966731795849$$
$$x_{15} = -87.5718952188155$$
$$x_{16} = -89.9280897090078$$
$$x_{17} = 78.1471172580461$$
$$x_{18} = 100.138265833175$$
$$x_{19} = 9.8174770424681$$
$$x_{20} = 64.009950316892$$
$$x_{21} = 123.700210735098$$
$$x_{22} = 93.8550805259951$$
$$x_{23} = 22.3838476568273$$
$$x_{24} = 89.9280897090078$$
$$x_{25} = -1.96349540849362$$
$$x_{26} = 56.1559686829176$$
$$x_{27} = -39.6626072515711$$
$$x_{28} = -42.0188017417635$$
$$x_{29} = -57.7267650097125$$
$$x_{30} = -27.8816348006094$$
$$x_{31} = 44.3749962319558$$
$$x_{32} = 40.4480054149686$$
$$x_{33} = -45.9457925587507$$
$$x_{34} = 92.2842841992002$$
$$x_{35} = -35.7356164345839$$
$$x_{36} = 54.5851723561227$$
$$x_{37} = 60.0829594999048$$
$$x_{38} = 74.2201264410589$$
$$x_{39} = -100.138265833175$$
$$x_{40} = -67.9369411338793$$
$$x_{41} = -2.74889357189107$$
$$x_{42} = 84.4303025652257$$
$$x_{43} = -13.7444678594553$$
$$x_{44} = -20.0276531666349$$
$$x_{45} = -56.1559686829176$$
$$x_{46} = 42.0188017417635$$
$$x_{47} = -78.1471172580461$$
$$x_{48} = 52.2289778659303$$
$$x_{49} = -64.009950316892$$
$$x_{50} = 23.9546439836222$$
$$x_{51} = -65.5807466436869$$
$$x_{52} = 12.1736715326604$$
$$x_{53} = -61.6537558266997$$
$$x_{54} = 49.872783375738$$
$$x_{55} = 16.1006623496477$$
$$x_{56} = 62.4391539900971$$
$$x_{57} = -97.7820713429823$$
$$x_{58} = 96.2112750161874$$
$$x_{59} = -71.8639319508665$$
$$x_{60} = 34.164820107789$$
$$x_{61} = 70.2931356240716$$
$$x_{62} = 30.2378292908018$$
$$x_{63} = -75.7909227678538$$
$$x_{64} = -31.8086256175967$$
$$x_{65} = -75.0055246044563$$
$$x_{66} = 1.96349540849362$$
$$x_{67} = -60.0829594999048$$
$$x_{68} = -43.5895980685584$$
$$x_{69} = 82.0741080750334$$
$$x_{70} = 67.9369411338793$$
$$x_{71} = -16.1006623496477$$
$$x_{72} = 45.9457925587507$$
$$x_{73} = 8.24668071567321$$
$$x_{74} = 5.89048622548086$$
$$x_{75} = -23.9546439836222$$
$$x_{76} = -53.7997741927252$$
$$x_{77} = -38.0918109247762$$
$$x_{78} = 86.0010988920206$$
$$x_{79} = -5.89048622548086$$
$$x_{80} = -96.9966731795849$$
$$x_{81} = 38.0918109247762$$
$$x_{82} = -17.6714586764426$$
$$x_{83} = 104.850654813559$$
$$x_{84} = -34.164820107789$$
$$x_{85} = 66.3661448070844$$
$$x_{86} = 0.392699081698724$$
$$x_{87} = 31.8086256175967$$
$$x_{88} = -83.6449044018282$$
$$x_{89} = 88.3572933822129$$
$$x_{90} = 27.8816348006094$$
$$x_{91} = -93.8550805259951$$
$$x_{92} = -12.1736715326604$$
$$x_{93} = -79.717913584841$$
$$x_{94} = 53.7997741927252$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{8}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 26.3108384738145$$
$$x_{2} = 4.31968989868597$$
$$x_{3} = -82.0741080750334$$
$$x_{4} = -10.6028752058656$$
$$x_{5} = 20.0276531666349$$
$$x_{6} = -86.0010988920206$$
$$x_{7} = -20.8130513300324$$
$$x_{8} = -49.872783375738$$
$$x_{9} = -68.7223392972767$$
$$x_{10} = -21.5984494934298$$
$$x_{11} = 48.3019870489431$$
$$x_{12} = 71.8639319508665$$
$$x_{13} = -9.8174770424681$$
$$x_{14} = 96.9966731795849$$
$$x_{15} = -87.5718952188155$$
$$x_{16} = -89.9280897090078$$
$$x_{17} = 78.1471172580461$$
$$x_{18} = 100.138265833175$$
$$x_{19} = 9.8174770424681$$
$$x_{20} = 64.009950316892$$
$$x_{21} = 123.700210735098$$
$$x_{22} = 93.8550805259951$$
$$x_{23} = 22.3838476568273$$
$$x_{24} = 89.9280897090078$$
$$x_{25} = -1.96349540849362$$
$$x_{26} = 56.1559686829176$$
$$x_{27} = -39.6626072515711$$
$$x_{28} = -42.0188017417635$$
$$x_{29} = -57.7267650097125$$
$$x_{30} = -27.8816348006094$$
$$x_{31} = 44.3749962319558$$
$$x_{32} = 40.4480054149686$$
$$x_{33} = -45.9457925587507$$
$$x_{34} = 92.2842841992002$$
$$x_{35} = -35.7356164345839$$
$$x_{36} = 54.5851723561227$$
$$x_{37} = 60.0829594999048$$
$$x_{38} = 74.2201264410589$$
$$x_{39} = -100.138265833175$$
$$x_{40} = -67.9369411338793$$
$$x_{41} = -2.74889357189107$$
$$x_{42} = 84.4303025652257$$
$$x_{43} = -13.7444678594553$$
$$x_{44} = -20.0276531666349$$
$$x_{45} = -56.1559686829176$$
$$x_{46} = 42.0188017417635$$
$$x_{47} = -78.1471172580461$$
$$x_{48} = 52.2289778659303$$
$$x_{49} = -64.009950316892$$
$$x_{50} = 23.9546439836222$$
$$x_{51} = -65.5807466436869$$
$$x_{52} = 12.1736715326604$$
$$x_{53} = -61.6537558266997$$
$$x_{54} = 49.872783375738$$
$$x_{55} = 16.1006623496477$$
$$x_{56} = 62.4391539900971$$
$$x_{57} = -97.7820713429823$$
$$x_{58} = 96.2112750161874$$
$$x_{59} = -71.8639319508665$$
$$x_{60} = 34.164820107789$$
$$x_{61} = 70.2931356240716$$
$$x_{62} = 30.2378292908018$$
$$x_{63} = -75.7909227678538$$
$$x_{64} = -31.8086256175967$$
$$x_{65} = -75.0055246044563$$
$$x_{66} = 1.96349540849362$$
$$x_{67} = -60.0829594999048$$
$$x_{68} = -43.5895980685584$$
$$x_{69} = 82.0741080750334$$
$$x_{70} = 67.9369411338793$$
$$x_{71} = -16.1006623496477$$
$$x_{72} = 45.9457925587507$$
$$x_{73} = 8.24668071567321$$
$$x_{74} = 5.89048622548086$$
$$x_{75} = -23.9546439836222$$
$$x_{76} = -53.7997741927252$$
$$x_{77} = -38.0918109247762$$
$$x_{78} = 86.0010988920206$$
$$x_{79} = -5.89048622548086$$
$$x_{80} = -96.9966731795849$$
$$x_{81} = 38.0918109247762$$
$$x_{82} = -17.6714586764426$$
$$x_{83} = 104.850654813559$$
$$x_{84} = -34.164820107789$$
$$x_{85} = 66.3661448070844$$
$$x_{86} = 0.392699081698724$$
$$x_{87} = 31.8086256175967$$
$$x_{88} = -83.6449044018282$$
$$x_{89} = 88.3572933822129$$
$$x_{90} = 27.8816348006094$$
$$x_{91} = -93.8550805259951$$
$$x_{92} = -12.1736715326604$$
$$x_{93} = -79.717913584841$$
$$x_{94} = 53.7997741927252$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 8 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{4}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{4}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 8 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)
-pi (----, -1) 4
pi (--, -1) 4
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{4}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{4}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$16 \left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{8}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{8}\right] \cup \left[\frac{\pi}{8}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{8}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$16 \left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{8}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{8}\right] \cup \left[\frac{\pi}{8}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{8}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(2*x)^2 - sin(2*x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}$$
- Sí
$$- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)} = \sin^{2}{\left(2 x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)}$$
- Sí
$$- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)} = \sin^{2}{\left(2 x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par