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Trazado el gráfico de la función/ xarctgx

Gráfico de la función y = xarctgx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = x*atan(x)
f(x)=xatan⁡(x)f{\left(x \right)} = x \operatorname{atan}{\left(x \right)} 
f = x*atan(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xatan⁡(x)=0x \operatorname{atan}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*atan(x).
0atan⁡(0)0 \operatorname{atan}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xx2+1+atan⁡(x)=0\frac{x}{x^{2} + 1} + \operatorname{atan}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−x2x2+1+1)x2+1=0\frac{2 \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 1\right)}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xatan⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xatan⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*atan(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(x)=−π2\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(x \right)} = - \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−πx2y = - \frac{\pi x}{2}
lim⁡x→∞atan⁡(x)=π2\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(x \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=πx2y = \frac{\pi x}{2}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xatan⁡(x)=xatan⁡(x)x \operatorname{atan}{\left(x \right)} = x \operatorname{atan}{\left(x \right)}
- Sí
xatan⁡(x)=−xatan⁡(x)x \operatorname{atan}{\left(x \right)} = - x \operatorname{atan}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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