Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -1/2+x+sqrt(5-4*x)/2

Gráfico de la función y = -1/2+x+sqrt(5-4*x)/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                    _________
                  \/ 5 - 4*x 
f(x) = -1/2 + x + -----------
                       2
f(x)=5−4x2+(x−12)f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{5 - 4 x}}{2} + \left(x - \frac{1}{2}\right) 
f = sqrt(5 - 4*x)/2 + x - 1/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
5−4x2+(x−12)=0\frac{\sqrt{5 - 4 x}}{2} + \left(x - \frac{1}{2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -1/2 + x + sqrt(5 - 4*x)/2.
−12+5−02- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5 - 0}}{2}
Resultado:
f(0)=−12+52f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
Punto:
(0, -1/2 + sqrt(5)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1−15−4x=01 - \frac{1}{\sqrt{5 - 4 x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(1, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Crece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(5−4x)32=0- \frac{2}{\left(5 - 4 x\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(5−4x2+(x−12))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{5 - 4 x}}{2} + \left(x - \frac{1}{2}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(5−4x2+(x−12))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{5 - 4 x}}{2} + \left(x - \frac{1}{2}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -1/2 + x + sqrt(5 - 4*x)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(5−4x2+(x−12)x)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sqrt{5 - 4 x}}{2} + \left(x - \frac{1}{2}\right)}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(5−4x2+(x−12)x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\sqrt{5 - 4 x}}{2} + \left(x - \frac{1}{2}\right)}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
5−4x2+(x−12)=−x+4x+52−12\frac{\sqrt{5 - 4 x}}{2} + \left(x - \frac{1}{2}\right) = - x + \frac{\sqrt{4 x + 5}}{2} - \frac{1}{2}
- No
5−4x2+(x−12)=x−4x+52+12\frac{\sqrt{5 - 4 x}}{2} + \left(x - \frac{1}{2}\right) = x - \frac{\sqrt{4 x + 5}}{2} + \frac{1}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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