Sr Examen

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sin(x^4)
Trazado el gráfico de la función/ sin(x^4)

Gráfico de la función y = sin(x^4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / 4\
f(x) = sin\x /
f(x)=sin⁡(x4)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{4} \right)} 
f = sin(x^4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x4)=0\sin{\left(x^{4} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−π4x_{2} = - \sqrt[4]{\pi}
x3=π4x_{3} = \sqrt[4]{\pi}
Solución numérica
x1=8.10852904395612x_{1} = 8.10852904395612
x2=−9.95086674105102x_{2} = -9.95086674105102
x3=−7.02672405019611x_{3} = -7.02672405019611
x4=15.9862230409504x_{4} = 15.9862230409504
x5=−29.5234907720309x_{5} = -29.5234907720309
x6=−7.27168353140049x_{6} = -7.27168353140049
x7=46.2305852319654x_{7} = 46.2305852319654
x8=−55.5019105353008x_{8} = -55.5019105353008
x9=−23.6296921162623x_{9} = -23.6296921162623
x10=−43.8262361980581x_{10} = -43.8262361980581
x11=70.3073765963099x_{11} = 70.3073765963099
x12=5.549951704375x_{12} = 5.549951704375
x13=0x_{13} = 0
x14=8.36429480695184x_{14} = 8.36429480695184
x15=−1.75213587482235x_{15} = -1.75213587482235
x16=26.024365151172x_{16} = 26.024365151172
x17=6.04483847750137x_{17} = 6.04483847750137
x18=−75.7117924341966x_{18} = -75.7117924341966
x19=−80.9603095719975x_{19} = -80.9603095719975
x20=33.4705089008294x_{20} = 33.4705089008294
x21=2.52797809381993x_{21} = 2.52797809381993
x22=−35.8108618404726x_{22} = -35.8108618404726
x23=20.2551805664063x_{23} = 20.2551805664063
x24=86.2480842721637x_{24} = 86.2480842721637
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x^4).
sin⁡(04)\sin{\left(0^{4} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4x2(−4x4sin⁡(x4)+3cos⁡(x4))=04 x^{2} \left(- 4 x^{4} \sin{\left(x^{4} \right)} + 3 \cos{\left(x^{4} \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=8.4851291552226x_{1} = 8.4851291552226
x2=−3.5921906046669x_{2} = -3.5921906046669
x3=−24.9671219275304x_{3} = -24.9671219275304
x4=−5.76254479327897x_{4} = -5.76254479327897
x5=16.0199510552353x_{5} = 16.0199510552353
x6=8.79089311503372x_{6} = 8.79089311503372
x7=−20.4809446712351x_{7} = -20.4809446712351
x8=−8.04291592714639x_{8} = -8.04291592714639
x9=8.13929096359393x_{9} = 8.13929096359393
x10=−3.91790815382005x_{10} = -3.91790815382005
x11=2.16635638156208x_{11} = 2.16635638156208
x12=−4.03049567044659x_{12} = -4.03049567044659
x13=−5.1097844089141x_{13} = -5.1097844089141
x14=−21.0214889070535x_{14} = -21.0214889070535
x15=−1.75578473537135x_{15} = -1.75578473537135
x16=0x_{16} = 0
x17=3.26114011677102x_{17} = 3.26114011677102
x18=2.23969362385977x_{18} = 2.23969362385977

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[16.0199510552353,∞)\left[16.0199510552353, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−20.4809446712351]\left(-\infty, -20.4809446712351\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(x4)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(x^{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(x4)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(x^{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x^4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x4)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x^{4} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x4)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x^{4} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x4)=sin⁡(x4)\sin{\left(x^{4} \right)} = \sin{\left(x^{4} \right)}
- Sí
sin⁡(x4)=−sin⁡(x4)\sin{\left(x^{4} \right)} = - \sin{\left(x^{4} \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(x^4)
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