Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log(1+x)/(1+x)

Gráfico de la función y = log(1+x)/(1+x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(1 + x)
f(x) = ----------
         1 + x
f(x)=log⁡(x+1)x+1f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x + 1} 
f = log(x + 1)/(x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x+1)x+1=0\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(1 + x)/(1 + x).
log⁡(1)1\frac{\log{\left(1 \right)}}{1}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−log⁡(x+1)(x+1)2+1(x+1)2=0- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1+ex_{1} = -1 + e
Signos de extremos en los puntos:
          -1 
(-1 + E, e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−1+ex_{1} = -1 + e
Decrece en los intervalos
(−∞,−1+e]\left(-\infty, -1 + e\right]
Crece en los intervalos
[−1+e,∞)\left[-1 + e, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2log⁡(x+1)−3(x+1)3=0\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)} - 3}{\left(x + 1\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1+e32x_{1} = -1 + e^{\frac{3}{2}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1

lim⁡x→−1−(2log⁡(x+1)−3(x+1)3)=∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)} - 3}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = \infty
lim⁡x→−1+(2log⁡(x+1)−3(x+1)3)=−∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)} - 3}{\left(x + 1\right)^{3}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−1+e32,∞)\left[-1 + e^{\frac{3}{2}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−1+e32]\left(-\infty, -1 + e^{\frac{3}{2}}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x+1)x+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(x+1)x+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(1 + x)/(1 + x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x+1)x(x+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x+1)x(x+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x+1)x+1=log⁡(1−x)1−x\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x + 1} = \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{1 - x}
- No
log⁡(x+1)x+1=−log⁡(1−x)1−x\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x + 1} = - \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{1 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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