Sr Examen

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y=x*sqrt(9-x^2)
Trazado el gráfico de la función/ y=x*sqrt(9-x^2)

Gráfico de la función y = y=x*sqrt(9-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            ________
           /      2 
f(x) = x*\/  9 - x
f(x)=x9−x2f{\left(x \right)} = x \sqrt{9 - x^{2}} 
f = x*sqrt(9 - x^2)
Gráfico de la función
0.003.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.7505
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x9−x2=0x \sqrt{9 - x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
x2=0x_{2} = 0
x3=3x_{3} = 3
Solución numérica
x1=−3x_{1} = -3
x2=0x_{2} = 0
x3=3x_{3} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*sqrt(9 - x^2).
09−020 \sqrt{9 - 0^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x29−x2+9−x2=0- \frac{x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}} + \sqrt{9 - x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−322x_{1} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}
x2=322x_{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
      ___       
 -3*\/ 2        
(--------, -9/2)
    2           

     ___      
 3*\/ 2       
(-------, 9/2)
    2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−322x_{1} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=322x_{1} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}
Decrece en los intervalos
[−322,322]\left[- \frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−322]∪[322,∞)\left(-\infty, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x(x2x2−9−3)9−x2=0\frac{x \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 9} - 3\right)}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−362x_{2} = - \frac{3 \sqrt{6}}{2}
x3=362x_{3} = \frac{3 \sqrt{6}}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x9−x2)=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{9 - x^{2}}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x9−x2)=∞i\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{9 - x^{2}}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*sqrt(9 - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞9−x2=∞i\lim_{x \to -\infty} \sqrt{9 - x^{2}} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞9−x2=∞i\lim_{x \to \infty} \sqrt{9 - x^{2}} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x9−x2=−x9−x2x \sqrt{9 - x^{2}} = - x \sqrt{9 - x^{2}}
- No
x9−x2=x9−x2x \sqrt{9 - x^{2}} = x \sqrt{9 - x^{2}}
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x*sqrt(9-x^2)
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