Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/arctgx

Gráfico de la función y = 1/arctgx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          1   
f(x) = -------
       acot(x)
f(x)=1acot⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{1}{\operatorname{acot}{\left(x \right)}} 
f = 1/acot(x)
Gráfico de la función
7.00.01.02.03.04.05.06.0-1.0-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1acot⁡(x)=0\frac{1}{\operatorname{acot}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/acot(x).
1acot⁡(0)\frac{1}{\operatorname{acot}{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=2πf{\left(0 \right)} = \frac{2}{\pi}
Punto:
(0, 2/pi)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1(x2+1)acot⁡2(x)=0\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right) \operatorname{acot}^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−x+1acot⁡(x))(x2+1)2acot⁡2(x)=0\frac{2 \left(- x + \frac{1}{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} \operatorname{acot}^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=8554.65078641094x_{1} = 8554.65078641094
x2=−40622.1200151692x_{2} = -40622.1200151692
x3=−13504.2758866198x_{3} = -13504.2758866198
x4=39905.7979366136x_{4} = 39905.7979366136
x5=−15198.5668889958x_{5} = -15198.5668889958
x6=−17740.3321341501x_{6} = -17740.3321341501
x7=39058.2540817056x_{7} = 39058.2540817056
x8=−42317.2189943227x_{8} = -42317.2189943227
x9=−24519.4348556179x_{9} = -24519.4348556179
x10=−18587.6508995784x_{10} = -18587.6508995784
x11=19566.1894475725x_{11} = 19566.1894475725
x12=−34689.3578622904x_{12} = -34689.3578622904
x13=−9270.01685112758x_{13} = -9270.01685112758
x14=−12657.2225478479x_{14} = -12657.2225478479
x15=−39774.5740255493x_{15} = -39774.5740255493
x16=10247.7094187015x_{16} = 10247.7094187015
x17=28888.0042086782x_{17} = 28888.0042086782
x18=23803.2000748827x_{18} = 23803.2000748827
x19=−25366.8877689487x_{19} = -25366.8877689487
x20=13635.4300878391x_{20} = 13635.4300878391
x21=−14351.394295001x_{21} = -14351.394295001
x22=30582.9996176834x_{22} = 30582.9996176834
x23=−36384.4172049541x_{23} = -36384.4172049541
x24=9401.08318426698x_{24} = 9401.08318426698
x25=−10116.6164840426x_{25} = -10116.6164840426
x26=−41469.668385783x_{26} = -41469.668385783
x27=26345.5625072394x_{27} = 26345.5625072394
x28=−32994.3138437624x_{28} = -32994.3138437624
x29=−23671.992778835x_{29} = -23671.992778835
x30=−26214.350467751x_{30} = -26214.350467751
x31=−38927.0305724517x_{31} = -38927.0305724517
x32=−33841.8337935864x_{32} = -33841.8337935864
x33=−38079.4898252516x_{33} = -38079.4898252516
x34=34820.5789018322x_{34} = 34820.5789018322
x35=11094.4850823289x_{35} = 11094.4850823289
x36=−29604.2823087185x_{36} = -29604.2823087185
x37=14482.5574955299x_{37} = 14482.5574955299
x38=37363.1745906464x_{38} = 37363.1745906464
x39=35668.1073599624x_{39} = 35668.1073599624
x40=36515.6393360385x_{40} = 36515.6393360385
x41=−27909.3016558072x_{41} = -27909.3016558072
x42=−37231.9519687467x_{42} = -37231.9519687467
x43=12788.3658920969x_{43} = 12788.3658920969
x44=15329.737631954x_{44} = 15329.737631954
x45=22108.349331647x_{45} = 22108.349331647
x46=−27061.822032615x_{46} = -27061.822032615
x47=16176.9622102367x_{47} = 16176.9622102367
x48=31430.5059409151x_{48} = 31430.5059409151
x49=−10963.3714382072x_{49} = -10963.3714382072
x50=17871.5194030199x_{50} = 17871.5194030199
x51=38210.7129056137x_{51} = 38210.7129056137
x52=−11810.2482859875x_{52} = -11810.2482859875
x53=−20282.3600074129x_{53} = -20282.3600074129
x54=20413.5580043921x_{54} = 20413.5580043921
x55=−19434.9945644212x_{55} = -19434.9945644212
x56=28040.51616498x_{56} = 28040.51616498
x57=24650.6438971375x_{57} = 24650.6438971375
x58=27193.0353647987x_{58} = 27193.0353647987
x59=−30451.782146834x_{59} = -30451.782146834
x60=−28756.7886248153x_{60} = -28756.7886248153
x61=21260.9453528034x_{61} = 21260.9453528034
x62=−31299.2876392078x_{62} = -31299.2876392078
x63=−32146.7983386098x_{63} = -32146.7983386098
x64=33125.5336195822x_{64} = 33125.5336195822
x65=33973.0542249541x_{65} = 33973.0542249541
x66=−8423.61941261028x_{66} = -8423.61941261028
x67=18718.8422348816x_{67} = 18718.8422348816
x68=17024.2245933464x_{68} = 17024.2245933464
x69=−16893.0420157026x_{69} = -16893.0420157026
x70=−22824.5627457861x_{70} = -22824.5627457861
x71=40753.3443031955x_{71} = 40753.3443031955
x72=41600.8930279303x_{72} = 41600.8930279303
x73=−35536.8857551633x_{73} = -35536.8857551633
x74=11941.3783669371x_{74} = 11941.3783669371
x75=−16045.7850834651x_{75} = -16045.7850834651
x76=22955.7680989029x_{76} = 22955.7680989029
x77=−21129.7446080108x_{77} = -21129.7446080108
x78=32278.017406457x_{78} = 32278.017406457
x79=42448.4439695585x_{79} = 42448.4439695585
x80=29735.4988764925x_{80} = 29735.4988764925
x81=−21977.1461498644x_{81} = -21977.1461498644
x82=25498.0983843576x_{82} = 25498.0983843576

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[38210.7129056137,∞)\left[38210.7129056137, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−41469.668385783]\left(-\infty, -41469.668385783\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1acot⁡(x)=−∞\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\operatorname{acot}{\left(x \right)}} = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞1acot⁡(x)=∞\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\operatorname{acot}{\left(x \right)}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/acot(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1xacot⁡(x))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \operatorname{acot}{\left(x \right)}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(1xacot⁡(x))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \operatorname{acot}{\left(x \right)}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1acot⁡(x)=−1acot⁡(x)\frac{1}{\operatorname{acot}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}
- No
1acot⁡(x)=1acot⁡(x)\frac{1}{\operatorname{acot}{\left(x \right)}} = \frac{1}{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}
- Sí
es decir, función
es
impar
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