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Trazado el gráfico de la función/ x*ln(1+x)

Gráfico de la función y = x*ln(1+x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = x*log(1 + x)
f(x)=xlog⁡(x+1)f{\left(x \right)} = x \log{\left(x + 1 \right)} 
f = x*log(x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010025
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xlog⁡(x+1)=0x \log{\left(x + 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*log(1 + x).
0log⁡(1)0 \log{\left(1 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xx+1+log⁡(x+1)=0\frac{x}{x + 1} + \log{\left(x + 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−xx+1+2x+1=0\frac{- \frac{x}{x + 1} + 2}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xlog⁡(x+1))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left(x + 1 \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xlog⁡(x+1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(x + 1 \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*log(1 + x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(x+1)=∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(x + 1 \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡(x+1)=∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(x + 1 \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xlog⁡(x+1)=−xlog⁡(1−x)x \log{\left(x + 1 \right)} = - x \log{\left(1 - x \right)}
- No
xlog⁡(x+1)=xlog⁡(1−x)x \log{\left(x + 1 \right)} = x \log{\left(1 - x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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