Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1+cos(3*x)*sin(x)+5*sin(2*x)-sin(3*x)*cos(x)

Gráfico de la función y = 1+cos(3*x)*sin(x)+5*sin(2*x)-sin(3*x)*cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 1 + cos(3*x)*sin(x) + 5*sin(2*x) - sin(3*x)*cos(x)
f(x)=((sin⁡(x)cos⁡(3x)+1)+5sin⁡(2x))−sin⁡(3x)cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \left(\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + 1\right) + 5 \sin{\left(2 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)} 
f = sin(x)*cos(3*x) + 1 + 5*sin(2*x) - sin(3*x)*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((sin⁡(x)cos⁡(3x)+1)+5sin⁡(2x))−sin⁡(3x)cos⁡(x)=0\left(\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + 1\right) + 5 \sin{\left(2 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=i(log⁡(4)−log⁡(−15−i))2x_{1} = \frac{i \left(\log{\left(4 \right)} - \log{\left(- \sqrt{15} - i \right)}\right)}{2}
x2=i(log⁡(4)−log⁡(15−i))2x_{2} = \frac{i \left(\log{\left(4 \right)} - \log{\left(\sqrt{15} - i \right)}\right)}{2}
x3=−ilog⁡(−−15−i2)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{- \sqrt{15} - i}}{2} \right)}
x4=−ilog⁡(−15−i2)x_{4} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{\sqrt{15} - i}}{2} \right)}
Solución numérica
x1=12.4400304867881x_{1} = 12.4400304867881
x2=50.1391423298656x_{2} = 50.1391423298656
x3=−44.1086372778281x_{3} = -44.1086372778281
x4=80.2369527941108x_{4} = 80.2369527941108
x5=−42.2851606958912x_{5} = -42.2851606958912
x6=−97.5157123888546x_{6} = -97.5157123888546
x7=−59.8166005457771x_{7} = -59.8166005457771
x8=−84.9493417744955x_{8} = -84.9493417744955
x9=−20.2940121207626x_{9} = -20.2940121207626
x10=48.8210262582128x_{10} = 48.8210262582128
x11=−28.4006740098792x_{11} = -28.4006740098792
x12=58.2458042189822x_{12} = 58.2458042189822
x13=95.9449160620597x_{13} = 95.9449160620597
x14=43.8559570226861x_{14} = 43.8559570226861
x15=94.1214394801228x_{15} = 94.1214394801228
x16=20.5466923759047x_{16} = 20.5466923759047
x17=72.1302909049942x_{17} = 72.1302909049942
x18=37.5727717155065x_{18} = 37.5727717155065
x19=29.9714703366741x_{19} = 29.9714703366741
x20=−45.426753349481x_{20} = -45.426753349481
x21=1.69713645436594x_{21} = 1.69713645436594
x22=65.8471055978146x_{22} = 65.8471055978146
x23=−29.718790081532x_{23} = -29.718790081532
x24=−79.9842725389687x_{24} = -79.9842725389687
x25=78.4134762121738x_{25} = 78.4134762121738
x26=−94.3741197352648x_{26} = -94.3741197352648
x27=−31.542266663469x_{27} = -31.542266663469
x28=42.5378409510332x_{28} = 42.5378409510332
x29=56.4223276370452x_{29} = 56.4223276370452
x30=4.83872910795573x_{30} = 4.83872910795573
x31=51.9626189118026x_{31} = 51.9626189118026
x32=−89.4090504997381x_{32} = -89.4090504997381
x33=36.2546556438537x_{33} = 36.2546556438537
x34=34.4311790619167x_{34} = 34.4311790619167
x35=67.6705821797516x_{35} = 67.6705821797516
x36=28.1479937547371x_{36} = 28.1479937547371
x37=100.404624787302x_{37} = 100.404624787302
x38=92.8033234084699x_{38} = 92.8033234084699
x39=87.8382541729432x_{39} = 87.8382541729432
x40=−14.010826813583x_{40} = -14.010826813583
x41=−67.4179019246095x_{41} = -67.4179019246095
x42=73.9537674869312x_{42} = 73.9537674869312
x43=6.15684517960855x_{43} = 6.15684517960855
x44=−17.1524194671728x_{44} = -17.1524194671728
x45=−64.2763092710197x_{45} = -64.2763092710197
x46=−37.8254519706486x_{46} = -37.8254519706486
x47=−88.0909344280852x_{47} = -88.0909344280852
x48=23.6882850294945x_{48} = 23.6882850294945
x49=64.5289895261618x_{49} = 64.5289895261618
x50=89.6617307548802x_{50} = 89.6617307548802
x51=21.8648084475575x_{51} = 21.8648084475575
x52=86.5201381012904x_{52} = 86.5201381012904
x53=−15.83430339552x_{53} = -15.83430339552
x54=−103.798897696034x_{54} = -103.798897696034
x55=−81.8077491209057x_{55} = -81.8077491209057
x56=−57.9931239638401x_{56} = -57.9931239638401
x57=59.563920290635x_{57} = 59.563920290635
x58=−50.3918225850077x_{58} = -50.3918225850077
x59=7.98032176154552x_{59} = 7.98032176154552
x60=−78.6661564673159x_{60} = -78.6661564673159
x61=−34.6838593170588x_{61} = -34.6838593170588
x62=−53.5334152385975x_{62} = -53.5334152385975
x63=70.8121748333414x_{63} = 70.8121748333414
x64=−9.55111808834042x_{64} = -9.55111808834042
x65=−86.2674578461483x_{65} = -86.2674578461483
x66=−95.6922358069177x_{66} = -95.6922358069177
x67=−22.1174887026996x_{67} = -22.1174887026996
x68=−6.40952543475063x_{68} = -6.40952543475063
x69=14.2635070687251x_{69} = 14.2635070687251
x70=−1.44445619922386x_{70} = -1.44445619922386
x71=−0.126340127571039x_{71} = -0.126340127571039
x72=−7.72764150640344x_{72} = -7.72764150640344
x73=−145.957718264354x_{73} = -145.957718264354
x74=−36.0019753887116x_{74} = -36.0019753887116
x75=81.5550688657636x_{75} = 81.5550688657636
x76=−66.0997858529567x_{76} = -66.0997858529567
x77=−51.7099386566605x_{77} = -51.7099386566605
x78=45.679433604623x_{78} = 45.679433604623
x79=−73.7010872317891x_{79} = -73.7010872317891
x80=26.8298776830843x_{80} = 26.8298776830843
x81=−23.4356047743524x_{81} = -23.4356047743524
x82=−72.3829711601363x_{82} = -72.3829711601363
x83=1757.84742981106x_{83} = 1757.84742981106
x84=15.5816231403779x_{84} = 15.5816231403779
x85=−75.5245638137261x_{85} = -75.5245638137261
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1 + cos(3*x)*sin(x) + 5*sin(2*x) - sin(3*x)*cos(x).
−sin⁡(0⋅3)cos⁡(0)+(5sin⁡(0⋅2)+(sin⁡(0)cos⁡(0⋅3)+1))- \sin{\left(0 \cdot 3 \right)} \cos{\left(0 \right)} + \left(5 \sin{\left(0 \cdot 2 \right)} + \left(\sin{\left(0 \right)} \cos{\left(0 \cdot 3 \right)} + 1\right)\right)
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(x)sin⁡(3x)−2cos⁡(x)cos⁡(3x)+10cos⁡(2x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + 10 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=−π4x_{2} = - \frac{\pi}{4}
x3=π4x_{3} = \frac{\pi}{4}
x4=3π4x_{4} = \frac{3 \pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 -3*pi    
(-----, 5)
   4      

 -pi      
(----, -3)
  4       

 pi    
(--, 5)
 4     

 3*pi     
(----, -3)
  4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x2=−3π4x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
[3π4,∞)\left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π4]∪[π4,3π4]\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(−sin⁡(x)cos⁡(3x)−5sin⁡(2x)+sin⁡(3x)cos⁡(x))=04 \left(- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} - 5 \sin{\left(2 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
x4=πx_{4} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π2,0]∪[π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(((sin⁡(x)cos⁡(3x)+1)+5sin⁡(2x))−sin⁡(3x)cos⁡(x))=⟨−6,8⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + 1\right) + 5 \sin{\left(2 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -6, 8\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−6,8⟩y = \left\langle -6, 8\right\rangle
lim⁡x→∞(((sin⁡(x)cos⁡(3x)+1)+5sin⁡(2x))−sin⁡(3x)cos⁡(x))=⟨−6,8⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + 1\right) + 5 \sin{\left(2 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -6, 8\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−6,8⟩y = \left\langle -6, 8\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 + cos(3*x)*sin(x) + 5*sin(2*x) - sin(3*x)*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((sin⁡(x)cos⁡(3x)+1)+5sin⁡(2x))−sin⁡(3x)cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + 1\right) + 5 \sin{\left(2 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(((sin⁡(x)cos⁡(3x)+1)+5sin⁡(2x))−sin⁡(3x)cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + 1\right) + 5 \sin{\left(2 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((sin⁡(x)cos⁡(3x)+1)+5sin⁡(2x))−sin⁡(3x)cos⁡(x)=−sin⁡(x)cos⁡(3x)−5sin⁡(2x)+sin⁡(3x)cos⁡(x)+1\left(\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + 1\right) + 5 \sin{\left(2 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} - 5 \sin{\left(2 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)} + 1
- No
((sin⁡(x)cos⁡(3x)+1)+5sin⁡(2x))−sin⁡(3x)cos⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(3x)+5sin⁡(2x)−sin⁡(3x)cos⁡(x)−1\left(\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + 1\right) + 5 \sin{\left(2 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + 5 \sin{\left(2 x \right)} - \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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