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Trazado el gráfico de la función/ sin(x^(1/2))

Gráfico de la función y = sin(x^(1/2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /  ___\
f(x) = sin\\/ x /
f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sqrt{x} \right)} 
f = sin(sqrt(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)=0\sin{\left(\sqrt{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \pi^{2}
Solución numérica
x1=9.86960440108936x_{1} = 9.86960440108936
x2=39.4784176043574x_{2} = 39.4784176043574
x3=0x_{3} = 0
x4=631.654681669719x_{4} = 631.654681669719
x5=88.8264396098042x_{5} = 88.8264396098042
x6=799.437956488238x_{6} = 799.437956488238
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(sqrt(x)).
sin⁡(0)\sin{\left(\sqrt{0} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)2x=0\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π24x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}
x2=9π24x_{2} = \frac{9 \pi^{2}}{4}
Signos de extremos en los puntos:
   2    
 pi     
(---, 1)
  4     

     2     
 9*pi      
(-----, -1)
   4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=9π24x_{1} = \frac{9 \pi^{2}}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=π24x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,π24]∪[9π24,∞)\left(-\infty, \frac{\pi^{2}}{4}\right] \cup \left[\frac{9 \pi^{2}}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π24,9π24]\left[\frac{\pi^{2}}{4}, \frac{9 \pi^{2}}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x)x+cos⁡(x)x324=0- \frac{\frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=37.4697072784998x_{1} = 37.4697072784998
x2=7.83096446123798x_{2} = 7.83096446123798
x3=86.8226353997707x_{3} = 86.8226353997707
x4=−1.43922883989065x_{4} = -1.43922883989065
x5=155.911543364003x_{5} = 155.911543364003
x6=481.60992467799x_{6} = 481.60992467799

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[481.60992467799,∞)\left[481.60992467799, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,7.83096446123798]\left(-\infty, 7.83096446123798\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(x)=∞i\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞sin⁡(x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(sqrt(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(sin⁡(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{x}\right)
lim⁡x→∞(sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)=sin⁡(−x)\sin{\left(\sqrt{x} \right)} = \sin{\left(\sqrt{- x} \right)}
- No
sin⁡(x)=−sin⁡(−x)\sin{\left(\sqrt{x} \right)} = - \sin{\left(\sqrt{- x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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