Sr Examen

Gráfico de la función y = sin(x^(1/2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          /  ___\
f(x) = sin\\/ x /
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sqrt{x} \right)}$$
f = sin(sqrt(x))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(\sqrt{x} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi^{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 9.86960440108936$$
$$x_{2} = 39.4784176043574$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{4} = 631.654681669719$$
$$x_{5} = 88.8264396098042$$
$$x_{6} = 799.437956488238$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(sqrt(x)).
$$\sin{\left(\sqrt{0} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi^{2}}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
   2    
 pi     
(---, 1)
  4     

     2     
 9*pi      
(-----, -1)
   4       


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{9 \pi^{2}}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi^{2}}{4}\right] \cup \left[\frac{9 \pi^{2}}{4}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi^{2}}{4}, \frac{9 \pi^{2}}{4}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}}}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 37.4697072784998$$
$$x_{2} = 7.83096446123798$$
$$x_{3} = 86.8226353997707$$
$$x_{4} = -1.43922883989065$$
$$x_{5} = 155.911543364003$$
$$x_{6} = 481.60992467799$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[481.60992467799, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 7.83096446123798\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(sqrt(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(\sqrt{x} \right)} = \sin{\left(\sqrt{- x} \right)}$$
- No
$$\sin{\left(\sqrt{x} \right)} = - \sin{\left(\sqrt{- x} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar