Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 4*cos(x)-3

Gráfico de la función y = 4*cos(x)-3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 4*cos(x) - 3
f(x)=4cos⁡(x)−3f{\left(x \right)} = 4 \cos{\left(x \right)} - 3 
f = 4*cos(x) - 3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
4cos⁡(x)−3=04 \cos{\left(x \right)} - 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−acos⁡(34)+2πx_{1} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{3}{4} \right)} + 2 \pi
x2=acos⁡(34)x_{2} = \operatorname{acos}{\left(\frac{3}{4} \right)}
Solución numérica
x1=13.2891048621726x_{1} = 13.2891048621726
x2=−18.1268216737253x_{2} = -18.1268216737253
x3=43.2595629024437x_{3} = 43.2595629024437
x4=74.6754894383416x_{4} = 74.6754894383416
x5=−13.2891048621726x_{5} = -13.2891048621726
x6=−43.2595629024437x_{6} = -43.2595629024437
x7=−94.9705138555072x_{7} = -94.9705138555072
x8=87.2418600527008x_{8} = 87.2418600527008
x9=80.9586747455212x_{9} = 80.9586747455212
x10=19.5722901693522x_{10} = 19.5722901693522
x11=93.5250453598804x_{11} = 93.5250453598804
x12=−50.9882167052501x_{12} = -50.9882167052501
x13=32.1386607837113x_{13} = 32.1386607837113
x14=82.404143241148x_{14} = 82.404143241148
x15=−80.9586747455212x_{15} = -80.9586747455212
x16=420.250681333219x_{16} = 420.250681333219
x17=49.5427482096233x_{17} = 49.5427482096233
x18=38.4218460908909x_{18} = 38.4218460908909
x19=76.1209579339685x_{19} = 76.1209579339685
x20=25.8554754765318x_{20} = 25.8554754765318
x21=−101.253699162687x_{21} = -101.253699162687
x22=18.1268216737253x_{22} = 18.1268216737253
x23=5.56045105936617x_{23} = 5.56045105936617
x24=−93.5250453598804x_{24} = -93.5250453598804
x25=−32.1386607837113x_{25} = -32.1386607837113
x26=−76.1209579339685x_{26} = -76.1209579339685
x27=94.9705138555072x_{27} = 94.9705138555072
x28=50.9882167052501x_{28} = 50.9882167052501
x29=30.6931922880845x_{29} = 30.6931922880845
x30=−36.9763775952641x_{30} = -36.9763775952641
x31=−19.5722901693522x_{31} = -19.5722901693522
x32=0.722734247813416x_{32} = 0.722734247813416
x33=−63.5545873196093x_{33} = -63.5545873196093
x34=16770.5443191101x_{34} = 16770.5443191101
x35=−99.80823066706x_{35} = -99.80823066706
x36=57.2714020124297x_{36} = 57.2714020124297
x37=−74.6754894383416x_{37} = -74.6754894383416
x38=−44.7050313980705x_{38} = -44.7050313980705
x39=−49.5427482096233x_{39} = -49.5427482096233
x40=62.1091188239824x_{40} = 62.1091188239824
x41=7.005919554993x_{41} = 7.005919554993
x42=−55.8259335168029x_{42} = -55.8259335168029
x43=44.7050313980705x_{43} = 44.7050313980705
x44=36.9763775952641x_{44} = 36.9763775952641
x45=−0.722734247813416x_{45} = -0.722734247813416
x46=−7.005919554993x_{46} = -7.005919554993
x47=24.4100069809049x_{47} = 24.4100069809049
x48=−38.4218460908909x_{48} = -38.4218460908909
x49=63.5545873196093x_{49} = 63.5545873196093
x50=88.6873285483276x_{50} = 88.6873285483276
x51=−69.8377726267889x_{51} = -69.8377726267889
x52=−82.404143241148x_{52} = -82.404143241148
x53=11.8436363665458x_{53} = 11.8436363665458
x54=−87.2418600527008x_{54} = -87.2418600527008
x55=−30.6931922880845x_{55} = -30.6931922880845
x56=−5.56045105936617x_{56} = -5.56045105936617
x57=−25.8554754765318x_{57} = -25.8554754765318
x58=−57.2714020124297x_{58} = -57.2714020124297
x59=−68.392304131162x_{59} = -68.392304131162
x60=55.8259335168029x_{60} = 55.8259335168029
x61=−88.6873285483276x_{61} = -88.6873285483276
x62=68.392304131162x_{62} = 68.392304131162
x63=157.802366927303x_{63} = 157.802366927303
x64=69.8377726267889x_{64} = 69.8377726267889
x65=−62.1091188239824x_{65} = -62.1091188239824
x66=99.80823066706x_{66} = 99.80823066706
x67=−11.8436363665458x_{67} = -11.8436363665458
x68=−24.4100069809049x_{68} = -24.4100069809049
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4*cos(x) - 3.
−3+4cos⁡(0)-3 + 4 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4sin⁡(x)=0- 4 \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(pi, -7)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4cos⁡(x)=0- 4 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(4cos⁡(x)−3)=⟨−7,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(4 \cos{\left(x \right)} - 3\right) = \left\langle -7, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−7,1⟩y = \left\langle -7, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(4cos⁡(x)−3)=⟨−7,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(4 \cos{\left(x \right)} - 3\right) = \left\langle -7, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−7,1⟩y = \left\langle -7, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4*cos(x) - 3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(4cos⁡(x)−3x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \cos{\left(x \right)} - 3}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(4cos⁡(x)−3x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \cos{\left(x \right)} - 3}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
4cos⁡(x)−3=4cos⁡(x)−34 \cos{\left(x \right)} - 3 = 4 \cos{\left(x \right)} - 3
- Sí
4cos⁡(x)−3=3−4cos⁡(x)4 \cos{\left(x \right)} - 3 = 3 - 4 \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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