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-2*exp(-x/2)+(1-x)*exp(-x)+exp(x/2)
Trazado el gráfico de la función/ -2*exp(-x/2)+(1-x)*exp(-x)+exp(x/2)

Gráfico de la función y = -2*exp(-x/2)+(1-x)*exp(-x)+exp(x/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            -x                   x
            ---                  -
             2             -x    2
f(x) = - 2*e    + (1 - x)*e   + e
f(x)=((1−x)e−x−2e(−1)x2)+ex2f{\left(x \right)} = \left(\left(1 - x\right) e^{- x} - 2 e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) + e^{\frac{x}{2}} 
f = (1 - x)*exp(-x) - 2*exp((-x)/2) + exp(x/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250000250000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((1−x)e−x−2e(−1)x2)+ex2=0\left(\left(1 - x\right) e^{- x} - 2 e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) + e^{\frac{x}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.435931054444968x_{1} = 0.435931054444968
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -2*exp((-x)/2) + (1 - x)*exp(-x) + exp(x/2).
(−2e(−1)02+(1−0)e−0)+e02\left(- 2 e^{\frac{\left(-1\right) 0}{2}} + \left(1 - 0\right) e^{- 0}\right) + e^{\frac{0}{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(1−x)e−x+e(−1)x2+ex22−e−x=0- \left(1 - x\right) e^{- x} + e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} - e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.207737202526134x_{1} = 0.207737202526134
x2=0.207737202526134x_{2} = 0.207737202526134
Signos de extremos en los puntos:
(0.20773720252613367, -0.0495822391920675)

(0.20773720252613384, -0.0495822391920673)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0.207737202526134x_{1} = 0.207737202526134
x2=0.207737202526134x_{2} = 0.207737202526134
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0.207737202526134,∞)\left[0.207737202526134, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0.207737202526134]\left(-\infty, 0.207737202526134\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(x−1)e−x+ex24+2e−x−e−x22=0- \left(x - 1\right) e^{- x} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{4} + 2 e^{- x} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(((1−x)e−x−2e(−1)x2)+ex2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(1 - x\right) e^{- x} - 2 e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) + e^{\frac{x}{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(((1−x)e−x−2e(−1)x2)+ex2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(1 - x\right) e^{- x} - 2 e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) + e^{\frac{x}{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -2*exp((-x)/2) + (1 - x)*exp(-x) + exp(x/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((1−x)e−x−2e(−1)x2)+ex2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(1 - x\right) e^{- x} - 2 e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) + e^{\frac{x}{2}}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(((1−x)e−x−2e(−1)x2)+ex2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(1 - x\right) e^{- x} - 2 e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) + e^{\frac{x}{2}}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((1−x)e−x−2e(−1)x2)+ex2=(x+1)ex−2ex2+e−x2\left(\left(1 - x\right) e^{- x} - 2 e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) + e^{\frac{x}{2}} = \left(x + 1\right) e^{x} - 2 e^{\frac{x}{2}} + e^{- \frac{x}{2}}
- No
((1−x)e−x−2e(−1)x2)+ex2=−(x+1)ex+2ex2−e−x2\left(\left(1 - x\right) e^{- x} - 2 e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) + e^{\frac{x}{2}} = - \left(x + 1\right) e^{x} + 2 e^{\frac{x}{2}} - e^{- \frac{x}{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -2*exp(-x/2)+(1-x)*exp(-x)+exp(x/2)
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