Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ xsqrt(x-1)^2/|x|

Gráfico de la función y = xsqrt(x-1)^2/|x|

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                  2
           _______ 
       x*\/ x - 1  
f(x) = ------------
           |x|
f(x)=x(x−1)2∣x∣f{\left(x \right)} = \frac{x \left(\sqrt{x - 1}\right)^{2}}{\left|{x}\right|} 
f = (x*(sqrt(x - 1))^2)/|x|
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101020-10
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(x−1)2∣x∣=0\frac{x \left(\sqrt{x - 1}\right)^{2}}{\left|{x}\right|} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*(sqrt(x - 1))^2)/|x|.
0(−1)2∣0∣\frac{0 \left(\sqrt{-1}\right)^{2}}{\left|{0}\right|}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x+(x−1)2∣x∣−(x−1)sign⁡(x)x=0\frac{x + \left(\sqrt{x - 1}\right)^{2}}{\left|{x}\right|} - \frac{\left(x - 1\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1∣x∣−(x−1)(δ(x)−sign⁡(x)x)x−(2x−1)sign⁡(x)x2)=02 \left(\frac{1}{\left|{x}\right|} - \frac{\left(x - 1\right) \left(\delta\left(x\right) - \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x}\right)}{x} - \frac{\left(2 x - 1\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(x−1)2∣x∣)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(\sqrt{x - 1}\right)^{2}}{\left|{x}\right|}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x(x−1)2∣x∣)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(\sqrt{x - 1}\right)^{2}}{\left|{x}\right|}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*(sqrt(x - 1))^2)/|x|, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−1∣x∣)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{\left|{x}\right|}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞(x−1∣x∣)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{\left|{x}\right|}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(x−1)2∣x∣=−x(−x−1)∣x∣\frac{x \left(\sqrt{x - 1}\right)^{2}}{\left|{x}\right|} = - \frac{x \left(- x - 1\right)}{\left|{x}\right|}
- No
x(x−1)2∣x∣=x(−x−1)∣x∣\frac{x \left(\sqrt{x - 1}\right)^{2}}{\left|{x}\right|} = \frac{x \left(- x - 1\right)}{\left|{x}\right|}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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