Sr Examen

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x*exp(3*x)
Trazado el gráfico de la función/ x*exp(3*x)

Gráfico de la función y = x*exp(3*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3*x
f(x) = x*e
f(x)=xe3xf{\left(x \right)} = x e^{3 x} 
f = x*exp(3*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010200000000000000-100000000000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xe3x=0x e^{3 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−106.890305626567x_{1} = -106.890305626567
x2=−42.9277215719632x_{2} = -42.9277215719632
x3=0x_{3} = 0
x4=−100.891710147796x_{4} = -100.891710147796
x5=−78.8987886111081x_{5} = -78.8987886111081
x6=−30.9547443398454x_{6} = -30.9547443398454
x7=−22.9922211573021x_{7} = -22.9922211573021
x8=−64.9059624301828x_{8} = -64.9059624301828
x9=−48.9196619333906x_{9} = -48.9196619333906
x10=−40.9309946683666x_{10} = -40.9309946683666
x11=−38.9346459151651x_{11} = -38.9346459151651
x12=−13.1416111389768x_{12} = -13.1416111389768
x13=−86.895779213308x_{13} = -86.895779213308
x14=−104.890755218345x_{14} = -104.890755218345
x15=−44.9247706684296x_{15} = -44.9247706684296
x16=−11.2328152835375x_{16} = -11.2328152835375
x17=−17.0522033058526x_{17} = -17.0522033058526
x18=−82.8972074884783x_{18} = -82.8972074884783
x19=−76.8996443728558x_{19} = -76.8996443728558
x20=−36.9387450640686x_{20} = -36.9387450640686
x21=−46.9220965396229x_{21} = -46.9220965396229
x22=−50.9174360047675x_{22} = -50.9174360047675
x23=−66.9047415605498x_{23} = -66.9047415605498
x24=−72.9015052766187x_{24} = -72.9015052766187
x25=−68.9035961391333x_{25} = -68.9035961391333
x26=−19.0265962551348x_{26} = -19.0265962551348
x27=−26.9701450522659x_{27} = -26.9701450522659
x28=−54.91351121676x_{28} = -54.91351121676
x29=−90.894482635299x_{29} = -90.894482635299
x30=−24.98010213912x_{30} = -24.98010213912
x31=−70.9025193770283x_{31} = -70.9025193770283
x32=−58.9101605312548x_{32} = -58.9101605312548
x33=−15.0879331724686x_{33} = -15.0879331724686
x34=−92.8938781666278x_{34} = -92.8938781666278
x35=−80.8979774495789x_{35} = -80.8979774495789
x36=−28.9618160346074x_{36} = -28.9618160346074
x37=−94.8933003357084x_{37} = -94.8933003357084
x38=−60.9086624652399x_{38} = -60.9086624652399
x39=−62.9072664632937x_{39} = -62.9072664632937
x40=−56.9117722918857x_{40} = -56.9117722918857
x41=−32.9486642444431x_{41} = -32.9486642444431
x42=−98.8922178388967x_{42} = -98.8922178388967
x43=−21.0073010205309x_{43} = -21.0073010205309
x44=−96.8927474190871x_{44} = -96.8927474190871
x45=−84.8964756651569x_{45} = -84.8964756651569
x46=−52.9153929935434x_{46} = -52.9153929935434
x47=−88.8951156279565x_{47} = -88.8951156279565
x48=−34.9433802056x_{48} = -34.9433802056
x49=−102.891223015744x_{49} = -102.891223015744
x50=−74.9005485194854x_{50} = -74.9005485194854
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*exp(3*x).
0e0⋅30 e^{0 \cdot 3}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3xe3x+e3x=03 x e^{3 x} + e^{3 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−13x_{1} = - \frac{1}{3}
Signos de extremos en los puntos:
         -1  
       -e    
(-1/3, -----)
         3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−13x_{1} = - \frac{1}{3}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−13,∞)\left[- \frac{1}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−13]\left(-\infty, - \frac{1}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(3x+2)e3x=03 \left(3 x + 2\right) e^{3 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−23x_{1} = - \frac{2}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−23,∞)\left[- \frac{2}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−23]\left(-\infty, - \frac{2}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xe3x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{3 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(xe3x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x e^{3 x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*exp(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞e3x=0\lim_{x \to -\infty} e^{3 x} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞e3x=∞\lim_{x \to \infty} e^{3 x} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xe3x=−xe−3xx e^{3 x} = - x e^{- 3 x}
- No
xe3x=xe−3xx e^{3 x} = x e^{- 3 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x*exp(3*x)
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