Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (-cos(2*x)-sin(2*x))*exp(3*x)

Gráfico de la función y = (-cos(2*x)-sin(2*x))*exp(3*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                               3*x
f(x) = (-cos(2*x) - sin(2*x))*e
f(x)=(−sin⁡(2x)−cos⁡(2x))e3xf{\left(x \right)} = \left(- \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{3 x} 
f = (-sin(2*x) - cos(2*x))*exp(3*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2000000000000020000000000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−sin⁡(2x)−cos⁡(2x))e3x=0\left(- \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{3 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−5π8x_{1} = - \frac{5 \pi}{8}
x2=−π8x_{2} = - \frac{\pi}{8}
x3=3π8x_{3} = \frac{3 \pi}{8}
x4=7π8x_{4} = \frac{7 \pi}{8}
Solución numérica
x1=−14.5298660228528x_{1} = -14.5298660228528
x2=−0.392699081698724x_{2} = -0.392699081698724
x3=−36.5210145979813x_{3} = -36.5210145979813
x4=−96.2112750161874x_{4} = -96.2112750161874
x5=−45.9457925587507x_{5} = -45.9457925587507
x6=−61.6537558266997x_{6} = -61.6537558266997
x7=−56.941366846315x_{7} = -56.941366846315
x8=−68.0483752352495x_{8} = -68.0483752352495
x9=−64.7953484802895x_{9} = -64.7953484802895
x10=−58.5121631731099x_{10} = -58.5121631731099
x11=−94.6404786893925x_{11} = -94.6404786893925
x12=−31.8086256175967x_{12} = -31.8086256175967
x13=−28.6670329640069x_{13} = -28.6670329640069
x14=−9.8174770424681x_{14} = -9.8174770424681
x15=−42.8041999051609x_{15} = -42.8041999051609
x16=−52.2289778659303x_{16} = -52.2289778659303
x17=−72.649330114264x_{17} = -72.649330114264
x18=−75.7909227678538x_{18} = -75.7909227678538
x19=−38.0918109247762x_{19} = -38.0918109247762
x20=−88.3572933822129x_{20} = -88.3572933822129
x21=−100.923663996572x_{21} = -100.923663996572
x22=−53.7997741927252x_{22} = -53.7997741927252
x23=−50.6581815391354x_{23} = -50.6581815391354
x24=−6.67588438887831x_{24} = -6.67588438887831
x25=−20.8130513300324x_{25} = -20.8130513300324
x26=−23.9546439836222x_{26} = -23.9546439836222
x27=5.89048622548086x_{27} = 5.89048622548086
x28=−74.2201264410589x_{28} = -74.2201264410589
x29=−8.24668071567321x_{29} = -8.24668071567321
x30=−66.3661448070844x_{30} = -66.3661448070844
x31=−93.0696823625976x_{31} = -93.0696823625976
x32=−34.9502182711865x_{32} = -34.9502182711865
x33=−83.6449044018282x_{33} = -83.6449044018282
x34=−86.786497055418x_{34} = -86.786497055418
x35=1.17809724509617x_{35} = 1.17809724509617
x36=−60.0829594999048x_{36} = -60.0829594999048
x37=7.46128255227576x_{37} = 7.46128255227576
x38=−1.96349540849362x_{38} = -1.96349540849362
x39=−97.7820713429823x_{39} = -97.7820713429823
x40=−16.1006623496477x_{40} = -16.1006623496477
x41=−78.9325154214436x_{41} = -78.9325154214436
x42=−67.9369411338793x_{42} = -67.9369411338793
x43=4.31968989868597x_{43} = 4.31968989868597
x44=−82.0741080750334x_{44} = -82.0741080750334
x45=−39.6626072515711x_{45} = -39.6626072515711
x46=9.03207887907065x_{46} = 9.03207887907065
x47=−44.3749962319558x_{47} = -44.3749962319558
x48=−30.2378292908018x_{48} = -30.2378292908018
x49=−17.6714586764426x_{49} = -17.6714586764426
x50=−12.9590696960579x_{50} = -12.9590696960579
x51=−22.3838476568273x_{51} = -22.3838476568273
x52=−89.9280897090078x_{52} = -89.9280897090078
x53=−80.5033117482384x_{53} = -80.5033117482384
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-cos(2*x) - sin(2*x))*exp(3*x).
(−cos⁡(0⋅2)−sin⁡(0⋅2))e0⋅3\left(- \cos{\left(0 \cdot 2 \right)} - \sin{\left(0 \cdot 2 \right)}\right) e^{0 \cdot 3}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3(−sin⁡(2x)−cos⁡(2x))e3x+(2sin⁡(2x)−2cos⁡(2x))e3x=03 \left(- \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{3 x} + \left(2 \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{3 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(5)2x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
                      -3*atan(5) 
                      ---------- 
                ____      2      
 -atan(5)   2*\/ 26 *e           
(---------, --------------------)
     2               13


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−atan⁡(5)2x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−atan⁡(5)2]\left(-\infty, - \frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{2}\right]
Crece en los intervalos
[−atan⁡(5)2,∞)\left[- \frac{\operatorname{atan}{\left(5 \right)}}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(7sin⁡(2x)−17cos⁡(2x))e3x=0\left(7 \sin{\left(2 x \right)} - 17 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{3 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−sin⁡(2x)−cos⁡(2x))e3x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{3 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞((−sin⁡(2x)−cos⁡(2x))e3x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{3 x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-cos(2*x) - sin(2*x))*exp(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−sin⁡(2x)−cos⁡(2x))e3xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{3 x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((−sin⁡(2x)−cos⁡(2x))e3xx)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{3 x}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−sin⁡(2x)−cos⁡(2x))e3x=(sin⁡(2x)−cos⁡(2x))e−3x\left(- \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{3 x} = \left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- 3 x}
- No
(−sin⁡(2x)−cos⁡(2x))e3x=−(sin⁡(2x)−cos⁡(2x))e−3x\left(- \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{3 x} = - \left(\sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- 3 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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