Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$3 \left(2 x \cos{\left(2 x \right)} + 3 x \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{3 x} + \left(- 4 x \sin{\left(2 x \right)} + 6 x \cos{\left(2 x \right)} + 3 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{3 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -22.5825925919772$$
$$x_{2} = -91.6950305747138$$
$$x_{3} = -86.9826872780801$$
$$x_{4} = -68.1333774980042$$
$$x_{5} = -2.19782517345074$$
$$x_{6} = 7.27622445141199$$
$$x_{7} = -36.7184263018089$$
$$x_{8} = -105.832084927443$$
$$x_{9} = -97.9781618220212$$
$$x_{10} = -96.4073783480111$$
$$x_{11} = -55.75$$
$$x_{12} = -11.5903481257722$$
$$x_{13} = -28.8650228606344$$
$$x_{14} = -33.5770322473965$$
$$x_{15} = -69.7041482116849$$
$$x_{16} = -46.1427715202489$$
$$x_{17} = -10.020637334688$$
$$x_{18} = -60.2795440288829$$
$$x_{19} = 5.70813221590859$$
$$x_{20} = -6.88274978547193$$
$$x_{21} = -88.5534678353211$$
$$x_{22} = -3.75143040881351$$
$$x_{23} = -52.4257551472372$$
$$x_{24} = -64.9918397980093$$
$$x_{25} = -61.8503077012464$$
$$x_{26} = -66.5626079973583$$
$$x_{27} = -17.871122719003$$
$$x_{28} = -74.4164668604379$$
$$x_{29} = -53.9965084187389$$
$$x_{30} = -30.435679498307$$
$$x_{31} = -47.7135124234798$$
$$x_{32} = -50.8550045474444$$
$$x_{33} = -90.1242489436633$$
$$x_{34} = -72.8456929632852$$
$$x_{35} = -25.7237612161477$$
$$x_{36} = -80.6995712055717$$
$$x_{37} = 1.0428975219455$$
$$x_{38} = -58.7087821107136$$
$$x_{39} = -38.2891356226561$$
$$x_{40} = -14.7304744932575$$
$$x_{41} = -83.8411279411402$$
$$x_{42} = -24.1531629870512$$
$$x_{43} = -8.45134053350092$$
$$x_{44} = -75.98724168771$$
$$x_{45} = -16.3007524805305$$
$$x_{46} = -21.0120563392475$$
$$x_{47} = -82.2703492295073$$
$$x_{48} = -43.0013019256564$$
$$x_{49} = -94.8365953007974$$
$$x_{50} = -44.5720345434575$$
$$x_{51} = -32.0063499441685$$
$$x_{52} = 4.14197062912355$$
$$x_{53} = -0.118279356560721$$
$$x_{54} = -39.8598518400666$$
Signos de extremos en los puntos:
(-22.582592591977225, 1.72491739457128e-28)
(-91.69503057471384, 6.25939213081828e-118)
(-86.98268727808012, -8.19054028565859e-112)
(-68.13337749800418, -2.32280428417938e-87)
(-2.1978251734507377, -0.00670448291291365)
(7.276224451411985, 42594872645.1624)
(-36.718426301808925, -1.06860818414622e-46)
(-105.83208492744305, -2.75247531407714e-136)
(-97.97816182202118, 4.35569811524792e-126)
(-96.40737834801105, -4.77093204884725e-124)
(-55.75, -3.79932597305764e-71)
(-11.590348125772172, -1.87477086550131e-14)
(-28.86502286063435, 1.43589018319356e-36)
(-33.57703224739653, -1.21088624734345e-42)
(-69.70414821168492, 2.13474967074143e-89)
(-46.142771520248886, -7.05757535736511e-59)
(-10.020637334688034, 1.8041295749359e-12)
(-60.27954402888286, 3.51272625290329e-77)
(5.70813221590859, -300052483.294721)
(-6.882749785471929, 1.53485060827482e-8)
(-88.55346783532114, 7.49067320346596e-114)
(-3.7514304088135058, 0.000103444814131522)
(-52.425755147237204, -5.22204011678467e-67)
(-64.9918397980093, -2.74561876327491e-83)
(-61.850307701246365, -3.23781413016059e-79)
(-66.56260799735826, 2.52608167078262e-85)
(-17.871122719003, -1.88286821351864e-22)
(-74.41646686043794, -1.65220605562237e-95)
(-53.99650841873891, 4.83166714147487e-69)
(-30.43567949830701, -1.36009686456514e-38)
(-47.713512423479806, 6.55585316908051e-61)
(-50.8550045474444, 5.63888649296277e-65)
(-90.12424894366329, -6.84845299013871e-116)
(-72.84569296328516, 1.80037693417602e-93)
(-25.723761216147697, 1.58565085911933e-32)
(-80.69957120557174, -1.16683304779487e-103)
(1.0428975219454952, 38.7334370951176)
(-58.70878211071359, -3.80839247816075e-75)
(-38.28913562265615, 1.00102857705261e-48)
(-14.730474493257542, -1.92304073899592e-18)
(-83.84112794114019, -9.78285765525164e-108)
(-24.153162987051186, -1.65732692958366e-30)
(-8.451340533500924, -1.69352449049274e-10)
(-75.98724168770995, 1.51555407382563e-97)
(-16.30075248053046, 1.91174259567256e-20)
(-21.012056339247465, -1.78657972459598e-26)
(-82.27034922950726, 1.06860303057626e-105)
(-43.00130192565645, -8.15006951914614e-55)
(-94.83659530079738, 5.22436345162697e-122)
(-44.57203454345748, 7.5888901835825e-57)
(-32.00634994416847, 1.28487301469379e-40)
(4.141970629123551, 1954009.7270685)
(-0.11827935656072107, -0.102956828898738)
(-39.859851840066575, -9.36144636810416e-51)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -86.9826872780801$$
$$x_{2} = -68.1333774980042$$
$$x_{3} = -2.19782517345074$$
$$x_{4} = -36.7184263018089$$
$$x_{5} = -105.832084927443$$
$$x_{6} = -96.4073783480111$$
$$x_{7} = -11.5903481257722$$
$$x_{8} = -33.5770322473965$$
$$x_{9} = -46.1427715202489$$
$$x_{10} = 5.70813221590859$$
$$x_{11} = -52.4257551472372$$
$$x_{12} = -64.9918397980093$$
$$x_{13} = -61.8503077012464$$
$$x_{14} = -17.871122719003$$
$$x_{15} = -74.4164668604379$$
$$x_{16} = -30.435679498307$$
$$x_{17} = -90.1242489436633$$
$$x_{18} = -80.6995712055717$$
$$x_{19} = -58.7087821107136$$
$$x_{20} = -14.7304744932575$$
$$x_{21} = -83.8411279411402$$
$$x_{22} = -24.1531629870512$$
$$x_{23} = -8.45134053350092$$
$$x_{24} = -21.0120563392475$$
$$x_{25} = -43.0013019256564$$
$$x_{26} = -0.118279356560721$$
$$x_{27} = -39.8598518400666$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{27} = -22.5825925919772$$
$$x_{27} = -91.6950305747138$$
$$x_{27} = 7.27622445141199$$
$$x_{27} = -97.9781618220212$$
$$x_{27} = -28.8650228606344$$
$$x_{27} = -69.7041482116849$$
$$x_{27} = -10.020637334688$$
$$x_{27} = -60.2795440288829$$
$$x_{27} = -6.88274978547193$$
$$x_{27} = -88.5534678353211$$
$$x_{27} = -3.75143040881351$$
$$x_{27} = -66.5626079973583$$
$$x_{27} = -53.9965084187389$$
$$x_{27} = -47.7135124234798$$
$$x_{27} = -50.8550045474444$$
$$x_{27} = -72.8456929632852$$
$$x_{27} = -25.7237612161477$$
$$x_{27} = 1.0428975219455$$
$$x_{27} = -38.2891356226561$$
$$x_{27} = -75.98724168771$$
$$x_{27} = -16.3007524805305$$
$$x_{27} = -82.2703492295073$$
$$x_{27} = -94.8365953007974$$
$$x_{27} = -44.5720345434575$$
$$x_{27} = -32.0063499441685$$
$$x_{27} = 4.14197062912355$$
Decrece en los intervalos
$$\left[5.70813221590859, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -105.832084927443\right]$$