Gráfico de la función y = x(lnx-1)^2

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f(x) = x*(log(x) - 1)

f{\left(x \right)} = x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}

f = x*(log(x) - 1)^2

Gráfico de la función

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2} = 0

Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica

x_{1} = e

Solución numérica

x_{1} = 2.71828247135288

x_{2} = 2.71828158203866

x_{3} = 2.71828330921235

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*(log(x) - 1)^2.

0 \left(\log{\left(0 \right)} - 1\right)^{2}

Resultado:

f{\left(0 \right)} = \text{NaN}

- no hay soluciones de la ecuación

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

primera derivada

\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2} + 2 \log{\left(x \right)} - 2 = 0

Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación

x_{1} = e

x_{2} = e^{-1}

Signos de extremos en los puntos:

(E, 0)

  -1     -1 
(e , 4*e  )

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:

x_{1} = e

Puntos máximos de la función:

x_{1} = e^{-1}

Decrece en los intervalos

\left(-\infty, e^{-1}\right] \cup \left[e, \infty\right)

Crece en los intervalos

\left[e^{-1}, e\right]

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0

(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =

segunda derivada

\frac{2 \log{\left(x \right)}}{x} = 0

Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación

x_{1} = 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos

\left[1, \infty\right)

Convexa en los intervalos

\left(-\infty, 1\right]

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}\right) = -\infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda

\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}\right) = \infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*(log(x) - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty} \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2} = \infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda

\lim_{x \to \infty} \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2} = \infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2} = - x \left(\log{\left(- x \right)} - 1\right)^{2}

- No

x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2} = x \left(\log{\left(- x \right)} - 1\right)^{2}

- No
es decir, función
no es
par ni impar

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Gráfico de la función y = x(lnx-1)^2

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución