Sr Examen

Gráfico de la función y = ln(1-sin^2(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          /       2   \
f(x) = log\1 - sin (x)/
f(x)=log(1sin2(x))f{\left(x \right)} = \log{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)} \right)}
f = log(1 - sin(x)^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log(1sin2(x))=0\log{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=75.3982238864105x_{1} = -75.3982238864105
x2=28.2743336970608x_{2} = -28.2743336970608
x3=31.4159260171396x_{3} = -31.4159260171396
x4=6.28318511692891x_{4} = -6.28318511692891
x5=3.14159159553391x_{5} = -3.14159159553391
x6=97.3893713350675x_{6} = 97.3893713350675
x7=25.1327406563971x_{7} = 25.1327406563971
x8=69.1150378238503x_{8} = 69.1150378238503
x9=69.1150390127643x_{9} = 69.1150390127643
x10=94.2477794374461x_{10} = -94.2477794374461
x11=69.1150373853363x_{11} = -69.1150373853363
x12=12.5663702522378x_{12} = -12.5663702522378
x13=56.5486688343165x_{13} = -56.5486688343165
x14=15.7079634632083x_{14} = 15.7079634632083
x15=12.5663704334084x_{15} = 12.5663704334084
x16=87.9645943360512x_{16} = 87.9645943360512
x17=34.5575188333352x_{17} = -34.5575188333352
x18=47.1238887896178x_{18} = -47.1238887896178
x19=56.5486674143785x_{19} = -56.5486674143785
x20=3.14159300683281x_{20} = -3.14159300683281
x21=18.8495565116576x_{21} = -18.8495565116576
x22=47.1238904278493x_{22} = 47.1238904278493
x23=78.5398161731332x_{23} = 78.5398161731332
x24=53.4070742959952x_{24} = -53.4070742959952
x25=62.8318524940769x_{25} = -62.8318524940769
x26=50.2654824463311x_{26} = 50.2654824463311
x27=75.3982226597999x_{27} = -75.3982226597999
x28=78.5398174338057x_{28} = -78.5398174338057
x29=65.9734457530642x_{29} = 65.9734457530642
x30=37.6991120433529x_{30} = 37.6991120433529
x31=94.2477796093522x_{31} = 94.2477796093522
x32=87.9645943584596x_{32} = -87.9645943584596
x33=9.42477796310118x_{33} = -9.42477796310118
x34=91.1061873312798x_{34} = -91.1061873312798
x35=69.1150387500801x_{35} = -69.1150387500801
x36=50.2654822771894x_{36} = -50.2654822771894
x37=9.42477832891555x_{37} = 9.42477832891555
x38=97.3893724664065x_{38} = -97.3893724664065
x39=0x_{39} = 0
x40=65.9734457648386x_{40} = -65.9734457648386
x41=100.530964753022x_{41} = 100.530964753022
x42=97.389372654126x_{42} = 97.389372654126
x43=3.14159207244778x_{43} = 3.14159207244778
x44=31.4159267264704x_{44} = -31.4159267264704
x45=6.28318528416623x_{45} = 6.28318528416623
x46=56.5486675932357x_{46} = 56.5486675932357
x47=47.1238901689402x_{47} = -47.1238901689402
x48=81.681409203672x_{48} = 81.681409203672
x49=62.831852735923x_{49} = 62.831852735923
x50=34.5575202359721x_{50} = -34.5575202359721
x51=84.82300131674x_{51} = 84.82300131674
x52=62.8318536803612x_{52} = -62.8318536803612
x53=15.7079632966706x_{53} = -15.7079632966706
x54=91.1061859802604x_{54} = -91.1061859802604
x55=9.42477814652397x_{55} = -9.42477814652397
x56=43.9822971695019x_{56} = 43.9822971695019
x57=53.4070754913975x_{57} = 53.4070754913975
x58=28.2743338651582x_{58} = 28.2743338651582
x59=84.8230022649727x_{59} = -84.8230022649727
x60=9.4247769576896x_{60} = 9.4247769576896
x61=34.5575190133278x_{61} = 34.5575190133278
x62=31.4159255531763x_{62} = 31.4159255531763
x63=25.1327401930409x_{63} = -25.1327401930409
x64=43.9822971744998x_{64} = -43.9822971744998
x65=3.1415932585699x_{65} = 3.1415932585699
x66=78.5398159953694x_{66} = -78.5398159953694
x67=18.8495553258088x_{67} = -18.8495553258088
x68=91.1061864073649x_{68} = 91.1061864073649
x69=72.256630857317x_{69} = -72.256630857317
x70=91.106187597873x_{70} = 91.106187597873
x71=47.1238892401961x_{71} = 47.1238892401961
x72=75.3982227418079x_{72} = 75.3982227418079
x73=59.6902604579606x_{73} = -59.6902604579606
x74=40.8407050959251x_{74} = -40.8407050959251
x75=18.8495555741382x_{75} = 18.8495555741382
x76=40.8407039100223x_{76} = -40.8407039100223
x77=31.4159269101267x_{77} = 31.4159269101267
x78=21.991148586432x_{78} = -21.991148586432
x79=100.53096457631x_{79} = -100.53096457631
x80=72.2566310277163x_{80} = 72.2566310277163
x81=40.8407056026057x_{81} = 40.8407056026057
x82=37.6991118773736x_{82} = -37.6991118773736
x83=75.39822407273x_{83} = 75.39822407273
x84=25.1327415878584x_{84} = -25.1327415878584
x85=53.4070741478622x_{85} = 53.4070741478622
x86=12.5663716386669x_{86} = -12.5663716386669
x87=53.4070753064322x_{87} = -53.4070753064322
x88=18.8495570029843x_{88} = 18.8495570029843
x89=9.42477834784266x_{89} = 9.42477834784266
x90=40.8407041550563x_{90} = 40.8407041550563
x91=62.8318542034359x_{91} = 62.8318542034359
x92=59.6902606235069x_{92} = 59.6902606235069
x93=84.8230010779785x_{93} = -84.8230010779785
x94=21.9911485852153x_{94} = 21.9911485852153
x95=81.6814090384469x_{95} = -81.6814090384469
x96=25.1327418431203x_{96} = 25.1327418431203
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(1 - sin(x)^2).
log(1sin2(0))\log{\left(1 - \sin^{2}{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2sin(x)cos(x)1sin2(x)=0- \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(sin2(x)+cos2(x)2sin2(x)cos2(x)sin2(x)1)sin2(x)1=0\frac{2 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} - \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} - 1}\right)}{\sin^{2}{\left(x \right)} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limxlog(1sin2(x))=log(0,1)\lim_{x \to -\infty} \log{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle 0, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log(0,1)y = \log{\left(\left\langle 0, 1\right\rangle \right)}
limxlog(1sin2(x))=log(0,1)\lim_{x \to \infty} \log{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle 0, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log(0,1)y = \log{\left(\left\langle 0, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(1 - sin(x)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(log(1sin2(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx(log(1sin2(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log(1sin2(x))=log(1sin2(x))\log{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)} \right)}
- Sí
log(1sin2(x))=log(1sin2(x))\log{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)} \right)}
- No
es decir, función
es
par