Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -sqrt(-x^2+exp(-2*x))

Gráfico de la función y = -sqrt(-x^2+exp(-2*x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           ______________
          /    2    -2*x 
f(x) = -\/  - x  + e
f(x)=−−x2+e−2xf{\left(x \right)} = - \sqrt{- x^{2} + e^{- 2 x}} 
f = -sqrt(-x^2 + exp(-2*x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2500025000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−−x2+e−2x=0- \sqrt{- x^{2} + e^{- 2 x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=W(1)x_{1} = W\left(1\right)
Solución numérica
x1=0.567143290409784x_{1} = 0.567143290409784
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -sqrt(-x^2 + exp(-2*x)).
−−02+e−0- \sqrt{- 0^{2} + e^{- 0}}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−−x−e−2x−x2+e−2x=0- \frac{- x - e^{- 2 x}}{\sqrt{- x^{2} + e^{- 2 x}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(x+e−2x)2x2−e−2x−1+2e−2x−x2+e−2x=0- \frac{\frac{\left(x + e^{- 2 x}\right)^{2}}{x^{2} - e^{- 2 x}} - 1 + 2 e^{- 2 x}}{\sqrt{- x^{2} + e^{- 2 x}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=96.6180404091753x_{1} = 96.6180404091753
x2=34.4791518108436x_{2} = 34.4791518108436
x3=18.231070602548x_{3} = 18.231070602548
x4=108.624694609768x_{4} = 108.624694609768
x5=60.5807281736427x_{5} = 60.5807281736427
x6=56.5733382792816x_{6} = 56.5733382792816
x7=78.6039728494843x_{7} = 78.6039728494843
x8=13.9628622470176x_{8} = 13.9628622470176
x9=22.3478571834247x_{9} = 22.3478571834247
x10=48.5544321821177x_{10} = 48.5544321821177
x11=28.4394868224191x_{11} = 28.4394868224191
x12=58.5771725780619x_{12} = 58.5771725780619
x13=0x_{13} = 0
x14=88.6125391534584x_{14} = 88.6125391534584
x15=20.2987240579051x_{15} = 20.2987240579051
x16=110.625656230763x_{16} = 110.625656230763
x17=54.5691910145197x_{17} = 54.5691910145197
x18=76.6019709108209x_{18} = 76.6019709108209
x19=40.5268506005133x_{19} = 40.5268506005133
x20=26.4149187996975x_{20} = 26.4149187996975
x21=102.621572637408x_{21} = 102.621572637408
x22=38.5037452572287x_{22} = 38.5037452572287
x23=98.6192682937796x_{23} = 98.6192682937796
x24=100.620444642638x_{24} = 100.620444642638
x25=24.3853229361075x_{25} = 24.3853229361075
x26=16.1308597565403x_{26} = 16.1308597565403
x27=42.534870633734x_{27} = 42.534870633734
x28=62.5840344874275x_{28} = 62.5840344874275
x29=44.5420630366576x_{29} = 44.5420630366576
x30=80.6058683074225x_{30} = 80.6058683074225
x31=90.6140112354264x_{31} = 90.6140112354264
x32=74.5998532377516x_{32} = 74.5998532377516
x33=104.622655202834x_{33} = 104.622655202834
x34=72.5976094696291x_{34} = 72.5976094696291
x35=106.623695032192x_{35} = 106.623695032192
x36=84.609372104546x_{36} = 84.609372104546
x37=82.6076655756093x_{37} = 82.6076655756093
x38=86.6109946083034x_{38} = 86.6109946083034
x39=64.5871169279013x_{39} = 64.5871169279013
x40=50.5597897842333x_{40} = 50.5597897842333
x41=52.5646906360687x_{41} = 52.5646906360687
x42=94.6167575213686x_{42} = 94.6167575213686
x43=68.5926956115657x_{43} = 68.5926956115657
x44=92.6154158442295x_{44} = 92.6154158442295
x45=46.548550419506x_{45} = 46.548550419506
x46=30.4353078071565x_{46} = 30.4353078071565
x47=36.4936572117048x_{47} = 36.4936572117048
x48=66.5899975541427x_{48} = 66.5899975541427
x49=70.595227967771x_{49} = 70.595227967771
x50=32.4644126217164x_{50} = 32.4644126217164

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−−x2+e−2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{- x^{2} + e^{- 2 x}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−−x2+e−2x)=−∞i\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- x^{2} + e^{- 2 x}}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -sqrt(-x^2 + exp(-2*x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−−x2+e−2xx)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\sqrt{- x^{2} + e^{- 2 x}}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−−x2+e−2xx)=−i\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\sqrt{- x^{2} + e^{- 2 x}}}{x}\right) = - i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−ixy = - i x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−−x2+e−2x=−−x2+e2x- \sqrt{- x^{2} + e^{- 2 x}} = - \sqrt{- x^{2} + e^{2 x}}
- No
−−x2+e−2x=−x2+e2x- \sqrt{- x^{2} + e^{- 2 x}} = \sqrt{- x^{2} + e^{2 x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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