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Trazado el gráfico de la función/ 2^(-x)*sqrt(x+1625^(1/4))*(68/25)^((x-1/sin(64/125))/3)

Gráfico de la función y = 2^(-x)*sqrt(x+1625^(1/4))*(68/25)^((x-1/sin(64/125))/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                                        1    
                                 x - --------
                                        / 64\
                                     sin|---|
                                        \125/
                                 ------------
              ______________          3      
        -x   /     4 ______  /68\            
f(x) = 2  *\/  x + \/ 1625  *|--|            
                             \25/
f(x)=(6825)x−1sin⁡(64125)3⋅2−xx+16254f{\left(x \right)} = \left(\frac{68}{25}\right)^{\frac{x - \frac{1}{\sin{\left(\frac{64}{125} \right)}}}{3}} \cdot 2^{- x} \sqrt{x + \sqrt[4]{1625}} 
f = (68/25)^((x - 1/sin(64/125))/3)*(2^(-x)*sqrt(x + 1625^(1/4)))
Gráfico de la función
-6.0-5.5-5.0-4.5-4.0-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.51.00.00.50.05.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(6825)x−1sin⁡(64125)3⋅2−xx+16254=0\left(\frac{68}{25}\right)^{\frac{x - \frac{1}{\sin{\left(\frac{64}{125} \right)}}}{3}} \cdot 2^{- x} \sqrt{x + \sqrt[4]{1625}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−16254x_{1} = - \sqrt[4]{1625}
Solución numérica
x1=91.9502007271945x_{1} = 91.9502007271945
x2=115.559578178592x_{2} = 115.559578178592
x3=103.719833374385x_{3} = 103.719833374385
x4=86.1091690768254x_{4} = 86.1091690768254
x5=113.582858556541x_{5} = 113.582858556541
x6=123.47696750544x_{6} = 123.47696750544
x7=143.323322404224x_{7} = 143.323322404224
x8=99.7867505505411x_{8} = 99.7867505505411
x9=155.255265561891x_{9} = 155.255265561891
x10=107.660452665501x_{10} = 107.660452665501
x11=111.607360695652x_{11} = 111.607360695652
x12=97.8235230638974x_{12} = 97.8235230638974
x13=88.0518072514954x_{13} = 88.0518072514954
x14=151.276424194984x_{14} = 151.276424194984
x15=89.9990024791229x_{15} = 89.9990024791229
x16=95.8628236034687x_{16} = 95.8628236034687
x17=82.2403874494962x_{17} = 82.2403874494962
x18=125.458585428576x_{18} = 125.458585428576
x19=141.336126464885x_{19} = 141.336126464885
x20=147.299055694962x_{20} = 147.299055694962
x21=121.496193352568x_{21} = 121.496193352568
x22=117.537427631023x_{22} = 117.537427631023
x23=109.633187138083x_{23} = 109.633187138083
x24=139.349411916078x_{24} = 139.349411916078
x25=159.235438540995x_{25} = 159.235438540995
x26=105.689286245644x_{26} = 105.689286245644
x27=145.310973570918x_{27} = 145.310973570918
x28=127.440991399478x_{28} = 127.440991399478
x29=101.75225891296x_{29} = 101.75225891296
x30=153.265670049952x_{30} = 153.265670049952
x31=157.245193701048x_{31} = 157.245193701048
x32=137.363207005953x_{32} = 137.363207005953
x33=135.377542283656x_{33} = 135.377542283656
x34=133.392450843288x_{34} = 133.392450843288
x35=149.287546228798x_{35} = 149.287546228798
x36=129.424134604632x_{36} = 129.424134604632
x37=119.516324224569x_{37} = 119.516324224569
x38=131.407968600171x_{38} = 131.407968600171
x39=84.1717568149315x_{39} = 84.1717568149315
x40=93.9049383158149x_{40} = 93.9049383158149
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2^(-x)*sqrt(x + 1625^(1/4)))*(68/25)^((x - 1/sin(64/125))/3).
2−016254(6825)−(−1)1sin⁡(64125)3\frac{2^{- 0} \sqrt{\sqrt[4]{1625}}}{\left(\frac{68}{25}\right)^{- \frac{\left(-1\right) \frac{1}{\sin{\left(\frac{64}{125} \right)}}}{3}}}
Resultado:
f(0)=16258(6825)13sin⁡(64125)f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt[8]{1625}}{\left(\frac{68}{25}\right)^{\frac{1}{3 \sin{\left(\frac{64}{125} \right)}}}}
Punto:
(0, 1625^(1/8)*(68/25)^(-1/(3*sin(64/125))))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(6825)x−1sin⁡(64125)3(−2−xx+16254log⁡(2)+2−x2x+16254)+2−x(6825)x−1sin⁡(64125)3x+16254log⁡(6825)3=0\left(\frac{68}{25}\right)^{\frac{x - \frac{1}{\sin{\left(\frac{64}{125} \right)}}}{3}} \left(- 2^{- x} \sqrt{x + \sqrt[4]{1625}} \log{\left(2 \right)} + \frac{2^{- x}}{2 \sqrt{x + \sqrt[4]{1625}}}\right) + \frac{2^{- x} \left(\frac{68}{25}\right)^{\frac{x - \frac{1}{\sin{\left(\frac{64}{125} \right)}}}{3}} \sqrt{x + \sqrt[4]{1625}} \log{\left(\frac{68}{25} \right)}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=log⁡(28916254250016254)+32log⁡(5017)x_{1} = \frac{\log{\left(\frac{289^{\sqrt[4]{1625}}}{2500^{\sqrt[4]{1625}}} \right)} + 3}{2 \log{\left(\frac{50}{17} \right)}}
Signos de extremos en los puntos:
                                                                                                       /   4 ______      4 ______\                                                         
                                       /       /   4 ______      4 ______\\                            |   \/ 1625      -\/ 1625 |                                                         
                                       |       |   \/ 1625      -\/ 1625 ||            1        3 + log\289        *2500         /                                                         
                                      -\3 + log\289        *2500         //      - ---------- + ----------------------------------                                                         
                                      --------------------------------------            / 64\                    /50\                      _______________________________________________ 
        /   4 ______      4 ______\                      /50\                      3*sin|---|               6*log|--|                     /                   /   4 ______      4 ______\  
        |   \/ 1625      -\/ 1625 |                 2*log|--|                           \125/                    \17/                    /                    |   \/ 1625      -\/ 1625 |  
 3 + log\289        *2500         /                      \17/                /68\                                                       /   4 ______   3 + log\289        *2500         /  
(----------------------------------, 2                                      *|--|                                                 *    /    \/ 1625  + ---------------------------------- )
                  /50\                                                       \25/                                                     /                                 /50\               
             2*log|--|                                                                                                               /                             2*log|--|               
                  \17/                                                                                                             \/                                   \17/


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=log⁡(28916254250016254)+32log⁡(5017)x_{1} = \frac{\log{\left(\frac{289^{\sqrt[4]{1625}}}{2500^{\sqrt[4]{1625}}} \right)} + 3}{2 \log{\left(\frac{50}{17} \right)}}
Decrece en los intervalos
(−∞,log⁡(28916254250016254)+32log⁡(5017)]\left(-\infty, \frac{\log{\left(\frac{289^{\sqrt[4]{1625}}}{2500^{\sqrt[4]{1625}}} \right)} + 3}{2 \log{\left(\frac{50}{17} \right)}}\right]
Crece en los intervalos
[log⁡(28916254250016254)+32log⁡(5017),∞)\left[\frac{\log{\left(\frac{289^{\sqrt[4]{1625}}}{2500^{\sqrt[4]{1625}}} \right)} + 3}{2 \log{\left(\frac{50}{17} \right)}}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2−x(6825)x3−13sin⁡(64125)(x+16254log⁡(6825)29+x+16254log⁡(2)2−(2x+16254log⁡(2)−1x+16254)log⁡(6825)3−log⁡(2)x+16254−14(x+16254)32)=02^{- x} \left(\frac{68}{25}\right)^{\frac{x}{3} - \frac{1}{3 \sin{\left(\frac{64}{125} \right)}}} \left(\frac{\sqrt{x + \sqrt[4]{1625}} \log{\left(\frac{68}{25} \right)}^{2}}{9} + \sqrt{x + \sqrt[4]{1625}} \log{\left(2 \right)}^{2} - \frac{\left(2 \sqrt{x + \sqrt[4]{1625}} \log{\left(2 \right)} - \frac{1}{\sqrt{x + \sqrt[4]{1625}}}\right) \log{\left(\frac{68}{25} \right)}}{3} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{\sqrt{x + \sqrt[4]{1625}}} - \frac{1}{4 \left(x + \sqrt[4]{1625}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((6825)x−1sin⁡(64125)3⋅2−xx+16254)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{68}{25}\right)^{\frac{x - \frac{1}{\sin{\left(\frac{64}{125} \right)}}}{3}} \cdot 2^{- x} \sqrt{x + \sqrt[4]{1625}}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((6825)x−1sin⁡(64125)3⋅2−xx+16254)=0\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{68}{25}\right)^{\frac{x - \frac{1}{\sin{\left(\frac{64}{125} \right)}}}{3}} \cdot 2^{- x} \sqrt{x + \sqrt[4]{1625}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2^(-x)*sqrt(x + 1625^(1/4)))*(68/25)^((x - 1/sin(64/125))/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2−x(6825)x−1sin⁡(64125)3x+16254x)=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{- x} \left(\frac{68}{25}\right)^{\frac{x - \frac{1}{\sin{\left(\frac{64}{125} \right)}}}{3}} \sqrt{x + \sqrt[4]{1625}}}{x}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(2−x(6825)x−1sin⁡(64125)3x+16254x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{- x} \left(\frac{68}{25}\right)^{\frac{x - \frac{1}{\sin{\left(\frac{64}{125} \right)}}}{3}} \sqrt{x + \sqrt[4]{1625}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(6825)x−1sin⁡(64125)3⋅2−xx+16254=2x(6825)−x3−13sin⁡(64125)−x+16254\left(\frac{68}{25}\right)^{\frac{x - \frac{1}{\sin{\left(\frac{64}{125} \right)}}}{3}} \cdot 2^{- x} \sqrt{x + \sqrt[4]{1625}} = 2^{x} \left(\frac{68}{25}\right)^{- \frac{x}{3} - \frac{1}{3 \sin{\left(\frac{64}{125} \right)}}} \sqrt{- x + \sqrt[4]{1625}}
- No
(6825)x−1sin⁡(64125)3⋅2−xx+16254=−2x(6825)−x3−13sin⁡(64125)−x+16254\left(\frac{68}{25}\right)^{\frac{x - \frac{1}{\sin{\left(\frac{64}{125} \right)}}}{3}} \cdot 2^{- x} \sqrt{x + \sqrt[4]{1625}} = - 2^{x} \left(\frac{68}{25}\right)^{- \frac{x}{3} - \frac{1}{3 \sin{\left(\frac{64}{125} \right)}}} \sqrt{- x + \sqrt[4]{1625}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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