Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp^(2-x)/(2-x)*x

Gráfico de la función y = exp^(2-x)/(2-x)*x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2 - x  
       E       
f(x) = ------*x
       2 - x
f(x)=xe2−x2−xf{\left(x \right)} = x \frac{e^{2 - x}}{2 - x} 
f = x*(E^(2 - x)/(2 - x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200000100000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xe2−x2−x=0x \frac{e^{2 - x}}{2 - x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=39.1147302712608x_{1} = 39.1147302712608
x2=105.176758137916x_{2} = 105.176758137916
x3=115.177672108263x_{3} = 115.177672108263
x4=111.177340056896x_{4} = 111.177340056896
x5=87.1740763981455x_{5} = 87.1740763981455
x6=99.1760496128704x_{6} = 99.1760496128704
x7=117.177823918444x_{7} = 117.177823918444
x8=109.177158203895x_{8} = 109.177158203895
x9=79.1721141752132x_{9} = 79.1721141752132
x10=53.1551454444043x_{10} = 53.1551454444043
x11=85.1736472548213x_{11} = 85.1736472548213
x12=35.0830976103373x_{12} = 35.0830976103373
x13=97.1757788421662x_{13} = 97.1757788421662
x14=49.1486096800712x_{14} = 49.1486096800712
x15=101.176302029271x_{15} = 101.176302029271
x16=81.1726711050428x_{16} = 81.1726711050428
x17=89.1744717733504x_{17} = 89.1744717733504
x18=55.15769628377x_{18} = 55.15769628377
x19=91.1748368518887x_{19} = 91.1748368518887
x20=119.177967199791x_{20} = 119.177967199791
x21=63.1649073358433x_{21} = 63.1649073358433
x22=77.1715033698701x_{22} = 77.1715033698701
x23=57.1598899821613x_{23} = 57.1598899821613
x24=107.176964578548x_{24} = 107.176964578548
x25=95.1754878837313x_{25} = 95.1754878837313
x26=69.1683555957443x_{26} = 69.1683555957443
x27=31.0180079017645x_{27} = 31.0180079017645
x28=37.1013285290104x_{28} = 37.1013285290104
x29=67.1673365541753x_{29} = 67.1673365541753
x30=113.177511076155x_{30} = 113.177511076155
x31=43.132871687516x_{31} = 43.132871687516
x32=51.1521535131471x_{32} = 51.1521535131471
x33=45.1392149059937x_{33} = 45.1392149059937
x34=61.1634503178614x_{34} = 61.1634503178614
x35=33.0571776157327x_{35} = 33.0571776157327
x36=121.178102581297x_{36} = 121.178102581297
x37=41.124918517446x_{37} = 41.124918517446
x38=0x_{38} = 0
x39=103.176537720436x_{39} = 103.176537720436
x40=73.1700898713663x_{40} = 73.1700898713663
x41=75.1708314419527x_{41} = 75.1708314419527
x42=83.1731803564069x_{42} = 83.1731803564069
x43=59.1617911706003x_{43} = 59.1617911706003
x44=47.1443649826676x_{44} = 47.1443649826676
x45=71.1692685841321x_{45} = 71.1692685841321
x46=93.175174668055x_{46} = 93.175174668055
x47=65.1661941485493x_{47} = 65.1661941485493
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (E^(2 - x)/(2 - x))*x.
0e2−02−00 \frac{e^{2 - 0}}{2 - 0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
e2−x2−x+x(−e2−x2−x+e2−x(2−x)2)=0\frac{e^{2 - x}}{2 - x} + x \left(- \frac{e^{2 - x}}{2 - x} + \frac{e^{2 - x}}{\left(2 - x\right)^{2}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−x(1+2x−2+2(x−2)2)+2+2x−2)e2−xx−2=0\frac{\left(- x \left(1 + \frac{2}{x - 2} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) + 2 + \frac{2}{x - 2}\right) e^{2 - x}}{x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2313+33333+4⋅223313+3333+43x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{13 + 3 \sqrt{33}}}{3} + \frac{4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3 \sqrt[3]{13 + 3 \sqrt{33}}} + \frac{4}{3}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=2x_{1} = 2

lim⁡x→2−((−x(1+2x−2+2(x−2)2)+2+2x−2)e2−xx−2)=∞\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{\left(- x \left(1 + \frac{2}{x - 2} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) + 2 + \frac{2}{x - 2}\right) e^{2 - x}}{x - 2}\right) = \infty
lim⁡x→2+((−x(1+2x−2+2(x−2)2)+2+2x−2)e2−xx−2)=−∞\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\left(- x \left(1 + \frac{2}{x - 2} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) + 2 + \frac{2}{x - 2}\right) e^{2 - x}}{x - 2}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=2x_{1} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2313+33333+4⋅223313+3333+43,∞)\left[- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{13 + 3 \sqrt{33}}}{3} + \frac{4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3 \sqrt[3]{13 + 3 \sqrt{33}}} + \frac{4}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2313+33333+4⋅223313+3333+43]\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{13 + 3 \sqrt{33}}}{3} + \frac{4 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3 \sqrt[3]{13 + 3 \sqrt{33}}} + \frac{4}{3}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xe2−x2−x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \frac{e^{2 - x}}{2 - x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xe2−x2−x)=0\lim_{x \to \infty}\left(x \frac{e^{2 - x}}{2 - x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (E^(2 - x)/(2 - x))*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(e2−x2−x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{2 - x}}{2 - x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(e2−x2−x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{2 - x}}{2 - x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xe2−x2−x=−xex+2x+2x \frac{e^{2 - x}}{2 - x} = - \frac{x e^{x + 2}}{x + 2}
- No
xe2−x2−x=xex+2x+2x \frac{e^{2 - x}}{2 - x} = \frac{x e^{x + 2}}{x + 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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