Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2*cos(2*x)

Gráfico de la función y = 2*cos(2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 2*cos(2*x)
f(x)=2cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = 2 \cos{\left(2 x \right)} 
f = 2*cos(2*x)
Gráfico de la función
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.005-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2cos⁡(2x)=02 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}
Solución numérica
x1=−41.6261026600648x_{1} = -41.6261026600648
x2=162.577419823272x_{2} = 162.577419823272
x3=18.0641577581413x_{3} = 18.0641577581413
x4=25.9181393921158x_{4} = 25.9181393921158
x5=41.6261026600648x_{5} = 41.6261026600648
x6=40.0553063332699x_{6} = 40.0553063332699
x7=63.6172512351933x_{7} = 63.6172512351933
x8=−47.9092879672443x_{8} = -47.9092879672443
x9=88.7499924639117x_{9} = 88.7499924639117
x10=96.6039740978861x_{10} = 96.6039740978861
x11=82.4668071567321x_{11} = 82.4668071567321
x12=−13.3517687777566x_{12} = -13.3517687777566
x13=−62.0464549083984x_{13} = -62.0464549083984
x14=44.7676953136546x_{14} = 44.7676953136546
x15=−24.3473430653209x_{15} = -24.3473430653209
x16=−16.4933614313464x_{16} = -16.4933614313464
x17=19.6349540849362x_{17} = 19.6349540849362
x18=−3.92699081698724x_{18} = -3.92699081698724
x19=52.621676947629x_{19} = 52.621676947629
x20=−84.037603483527x_{20} = -84.037603483527
x21=−49.4800842940392x_{21} = -49.4800842940392
x22=−63.6172512351933x_{22} = -63.6172512351933
x23=55.7632696012188x_{23} = 55.7632696012188
x24=91.8915851175014x_{24} = 91.8915851175014
x25=60.4756585816035x_{25} = 60.4756585816035
x26=−10.2101761241668x_{26} = -10.2101761241668
x27=32.2013246992954x_{27} = 32.2013246992954
x28=−85.6083998103219x_{28} = -85.6083998103219
x29=33.7721210260903x_{29} = 33.7721210260903
x30=−57.3340659280137x_{30} = -57.3340659280137
x31=−32.2013246992954x_{31} = -32.2013246992954
x32=30.6305283725005x_{32} = 30.6305283725005
x33=−82.4668071567321x_{33} = -82.4668071567321
x34=3.92699081698724x_{34} = 3.92699081698724
x35=2.35619449019234x_{35} = 2.35619449019234
x36=16.4933614313464x_{36} = 16.4933614313464
x37=76.1836218495525x_{37} = 76.1836218495525
x38=−2.35619449019234x_{38} = -2.35619449019234
x39=−90.3207887907066x_{39} = -90.3207887907066
x40=−46.3384916404494x_{40} = -46.3384916404494
x41=−98.174770424681x_{41} = -98.174770424681
x42=46.3384916404494x_{42} = 46.3384916404494
x43=5.49778714378214x_{43} = 5.49778714378214
x44=47.9092879672443x_{44} = 47.9092879672443
x45=99.7455667514759x_{45} = 99.7455667514759
x46=−91.8915851175014x_{46} = -91.8915851175014
x47=1973.70558461779x_{47} = 1973.70558461779
x48=−33.7721210260903x_{48} = -33.7721210260903
x49=−19.6349540849362x_{49} = -19.6349540849362
x50=−60.4756585816035x_{50} = -60.4756585816035
x51=27.4889357189107x_{51} = 27.4889357189107
x52=−71.4712328691678x_{52} = -71.4712328691678
x53=84.037603483527x_{53} = 84.037603483527
x54=−76.1836218495525x_{54} = -76.1836218495525
x55=−12461.9126586273x_{55} = -12461.9126586273
x56=−38.484510006475x_{56} = -38.484510006475
x57=22.776546738526x_{57} = 22.776546738526
x58=68.329640215578x_{58} = 68.329640215578
x59=66.7588438887831x_{59} = 66.7588438887831
x60=−11.7809724509617x_{60} = -11.7809724509617
x61=−27.4889357189107x_{61} = -27.4889357189107
x62=62.0464549083984x_{62} = 62.0464549083984
x63=−25.9181393921158x_{63} = -25.9181393921158
x64=−40.0553063332699x_{64} = -40.0553063332699
x65=−5.49778714378214x_{65} = -5.49778714378214
x66=54.1924732744239x_{66} = 54.1924732744239
x67=−35.3429173528852x_{67} = -35.3429173528852
x68=384.059701901352x_{68} = 384.059701901352
x69=90.3207887907066x_{69} = 90.3207887907066
x70=−55.7632696012188x_{70} = -55.7632696012188
x71=11.7809724509617x_{71} = 11.7809724509617
x72=8.63937979737193x_{72} = 8.63937979737193
x73=74.6128255227576x_{73} = 74.6128255227576
x74=−54.1924732744239x_{74} = -54.1924732744239
x75=−99.7455667514759x_{75} = -99.7455667514759
x76=−18.0641577581413x_{76} = -18.0641577581413
x77=38.484510006475x_{77} = 38.484510006475
x78=−77.7544181763474x_{78} = -77.7544181763474
x79=−79.3252145031423x_{79} = -79.3252145031423
x80=10.2101761241668x_{80} = 10.2101761241668
x81=85.6083998103219x_{81} = 85.6083998103219
x82=98.174770424681x_{82} = 98.174770424681
x83=−68.329640215578x_{83} = -68.329640215578
x84=−69.9004365423729x_{84} = -69.9004365423729
x85=49.4800842940392x_{85} = 49.4800842940392
x86=69.9004365423729x_{86} = 69.9004365423729
x87=24.3473430653209x_{87} = 24.3473430653209
x88=−93.4623814442964x_{88} = -93.4623814442964
x89=77.7544181763474x_{89} = 77.7544181763474
x90=87.1791961371168x_{90} = 87.1791961371168
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*cos(2*x).
2cos⁡(0⋅2)2 \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4sin⁡(2x)=0- 4 \sin{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)

 pi     
(--, -2)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π2,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−8cos⁡(2x)=0- 8 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π4,3π4]\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π4]∪[3π4,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(2x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(2cos⁡(2x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2cos⁡(2x)=2cos⁡(2x)2 \cos{\left(2 x \right)} = 2 \cos{\left(2 x \right)}
- Sí
2cos⁡(2x)=−2cos⁡(2x)2 \cos{\left(2 x \right)} = - 2 \cos{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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