Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3-x
-
1/(x^2+4)
-
x^2*e^x
-
x-4
-
Expresiones idénticas
- (cos(cuatro *x*sqrt(dos)/ tres)+sin(cuatro *x*sqrt(dos)/ tres))*exp(x/ tres)
- ( coseno de (4 multiplicar por x multiplicar por raíz cuadrada de (2) dividir por 3) más seno de (4 multiplicar por x multiplicar por raíz cuadrada de (2) dividir por 3)) multiplicar por exponente de (x dividir por 3)
- ( coseno de (cuatro multiplicar por x multiplicar por raíz cuadrada de (dos) dividir por tres) más seno de (cuatro multiplicar por x multiplicar por raíz cuadrada de (dos) dividir por tres)) multiplicar por exponente de (x dividir por tres)
- (cos(4*x*√(2)/3)+sin(4*x*√(2)/3))*exp(x/3)
- (cos(4xsqrt(2)/3)+sin(4xsqrt(2)/3))exp(x/3)
- cos4xsqrt2/3+sin4xsqrt2/3expx/3
- (cos(4*x*sqrt(2) dividir por 3)+sin(4*x*sqrt(2) dividir por 3))*exp(x dividir por 3)
-
Expresiones semejantes
- (cos(4*x*sqrt(2)/3)-sin(4*x*sqrt(2)/3))*exp(x/3)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(2*x)
- cos(4*x)
- cos(x)-1
- cosx/3
- cos(y)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(5*x)
- sqrt(x)/(x+1)
- sqrt(x^2)
- sqrt(x)-4
- sqrt(2-x^2)
- Seno sin
- sin(1/x)
- sin(x)/cos(x)
- sin(x)/2*x+16
- sin(2*x+1)
- sin(x)/((3*x))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(5*x)
- sqrt(x)/(x+1)
- sqrt(x^2)
- sqrt(x)-4
- sqrt(2-x^2)
- Exponente exp
- exp(2*x)/4
- exp(-2*x)
- exp(x)*sin(x)
- exp^(x^2)-exp
- exp(t)/2
Gráfico de la función y = (cos(4*x*sqrt(2)/3)+sin(4*x*sqrt(2)/3))*exp(x/3)
Solución
Ha introducido
[src]
x
/ / ___\ / ___\\ -
| |4*x*\/ 2 | |4*x*\/ 2 || 3
f(x) = |cos|---------| + sin|---------||*e
\ \ 3 / \ 3 //
$$f{\left(x \right)} = \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}}$$
f = (sin((sqrt(2)*(4*x))/3) + cos((sqrt(2)*(4*x))/3))*exp(x/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(- \frac{4 \sqrt{2} \sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}}{3} + \frac{4 \sqrt{2} \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}}{3}\right) e^{\frac{x}{3}} + \frac{\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{33}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{8 \sqrt{2}}{31} \right)}}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{8 \sqrt{2}}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{33}{31} \right)}}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{33}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{8 \sqrt{2}}{31} \right)}}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{8 \sqrt{2}}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{33}{31} \right)}}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{33}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{8 \sqrt{2}}{31} \right)}}{4}, - \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{8 \sqrt{2}}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{33}{31} \right)}}{4}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{33}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{8 \sqrt{2}}{31} \right)}}{4}\right] \cup \left[- \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{8 \sqrt{2}}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{33}{31} \right)}}{4}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(- \frac{4 \sqrt{2} \sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}}{3} + \frac{4 \sqrt{2} \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}}{3}\right) e^{\frac{x}{3}} + \frac{\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{33}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{8 \sqrt{2}}{31} \right)}}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{8 \sqrt{2}}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{33}{31} \right)}}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ ____ ____ ___\
___ | 33 8*\/ 33 \/ 66 8*\/ 2 |
/ ____ ____ ___\ \/ 2 *atan|- -- - -------- + ------ + -------|
___ | 33 8*\/ 33 \/ 66 8*\/ 2 | \ 31 31 31 31 /
3*\/ 2 *atan|- -- - -------- + ------ + -------| / / / ____ ____ ___\\ / / ____ ____ ___\\\ ----------------------------------------------
\ 31 31 31 31 / | | | 33 8*\/ 33 \/ 66 8*\/ 2 || | | 33 8*\/ 33 \/ 66 8*\/ 2 ||| 4
(------------------------------------------------, |cos|2*atan|- -- - -------- + ------ + -------|| + sin|2*atan|- -- - -------- + ------ + -------|||*e )
4 \ \ \ 31 31 31 31 // \ \ 31 31 31 31 /// / ___ ____ ____\
___ |33 8*\/ 2 8*\/ 33 \/ 66 |
/ ___ ____ ____\ -\/ 2 *atan|-- - ------- - -------- + ------|
___ |33 8*\/ 2 8*\/ 33 \/ 66 | \31 31 31 31 /
-3*\/ 2 *atan|-- - ------- - -------- + ------| / / / ___ ____ ____\\ / / ___ ____ ____\\\ ----------------------------------------------
\31 31 31 31 / | | |33 8*\/ 2 8*\/ 33 \/ 66 || | |33 8*\/ 2 8*\/ 33 \/ 66 ||| 4
(-----------------------------------------------, |- sin|2*atan|-- - ------- - -------- + ------|| + cos|2*atan|-- - ------- - -------- + ------|||*e )
4 \ \ \31 31 31 31 // \ \31 31 31 31 /// Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{33}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{8 \sqrt{2}}{31} \right)}}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{8 \sqrt{2}}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{33}{31} \right)}}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{33}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{8 \sqrt{2}}{31} \right)}}{4}, - \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{8 \sqrt{2}}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{33}{31} \right)}}{4}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{33}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{8 \sqrt{2}}{31} \right)}}{4}\right] \cup \left[- \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{8 \sqrt{2}}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{33}{31} \right)}}{4}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (cos(((4*x)*sqrt(2))/3) + sin(((4*x)*sqrt(2))/3))*exp(x/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}} = \left(- \sin{\left(\frac{4 \sqrt{2} x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{4 \sqrt{2} x}{3} \right)}\right) e^{- \frac{x}{3}}$$
- No
$$\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}} = - \left(- \sin{\left(\frac{4 \sqrt{2} x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{4 \sqrt{2} x}{3} \right)}\right) e^{- \frac{x}{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}} = \left(- \sin{\left(\frac{4 \sqrt{2} x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{4 \sqrt{2} x}{3} \right)}\right) e^{- \frac{x}{3}}$$
- No
$$\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}} = - \left(- \sin{\left(\frac{4 \sqrt{2} x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{4 \sqrt{2} x}{3} \right)}\right) e^{- \frac{x}{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico