Sr Examen

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(cos(4*x*sqrt(2)/3)+sin(4*x*sqrt(2)/3))*exp(x/3)
Trazado el gráfico de la función/ (cos(4*x*sqrt(2)/3)+sin(4*x*sqrt(2)/3))*exp(x/3)

Gráfico de la función y = (cos(4*x*sqrt(2)/3)+sin(4*x*sqrt(2)/3))*exp(x/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                                          x
       /   /      ___\      /      ___\\  -
       |   |4*x*\/ 2 |      |4*x*\/ 2 ||  3
f(x) = |cos|---------| + sin|---------||*e 
       \   \    3    /      \    3    //
f(x)=(sin⁡(2⋅4x3)+cos⁡(2⋅4x3))ex3f{\left(x \right)} = \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}} 
f = (sin((sqrt(2)*(4*x))/3) + cos((sqrt(2)*(4*x))/3))*exp(x/3)
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (cos(((4*x)*sqrt(2))/3) + sin(((4*x)*sqrt(2))/3))*exp(x/3).
(sin⁡(0⋅423)+cos⁡(0⋅423))e03\left(\sin{\left(\frac{0 \cdot 4 \sqrt{2}}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{0 \cdot 4 \sqrt{2}}{3} \right)}\right) e^{\frac{0}{3}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−42sin⁡(2⋅4x3)3+42cos⁡(2⋅4x3)3)ex3+(sin⁡(2⋅4x3)+cos⁡(2⋅4x3))ex33=0\left(- \frac{4 \sqrt{2} \sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}}{3} + \frac{4 \sqrt{2} \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}}{3}\right) e^{\frac{x}{3}} + \frac{\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=32atan⁡(−83331−3331+6631+8231)4x_{1} = \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{33}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{8 \sqrt{2}}{31} \right)}}{4}
x2=−32atan⁡(−83331−8231+6631+3331)4x_{2} = - \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{8 \sqrt{2}}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{33}{31} \right)}}{4}
Signos de extremos en los puntos:
                                                                                                                                                                  /           ____     ____       ___\ 
                                                                                                                                                          ___     |  33   8*\/ 33    \/ 66    8*\/ 2 | 
             /           ____     ____       ___\                                                                                                       \/ 2 *atan|- -- - -------- + ------ + -------| 
     ___     |  33   8*\/ 33    \/ 66    8*\/ 2 |                                                                                                                 \  31      31        31        31  / 
 3*\/ 2 *atan|- -- - -------- + ------ + -------|  /   /      /           ____     ____       ___\\      /      /           ____     ____       ___\\\  ---------------------------------------------- 
             \  31      31        31        31  /  |   |      |  33   8*\/ 33    \/ 66    8*\/ 2 ||      |      |  33   8*\/ 33    \/ 66    8*\/ 2 |||                        4                        
(------------------------------------------------, |cos|2*atan|- -- - -------- + ------ + -------|| + sin|2*atan|- -- - -------- + ------ + -------|||*e                                              )
                        4                          \   \      \  31      31        31        31  //      \      \  31      31        31        31  ///                                                 

                                                                                                                                                                /         ___       ____     ____\  
                                                                                                                                                        ___     |33   8*\/ 2    8*\/ 33    \/ 66 |  
              /         ___       ____     ____\                                                                                                     -\/ 2 *atan|-- - ------- - -------- + ------|  
      ___     |33   8*\/ 2    8*\/ 33    \/ 66 |                                                                                                                \31      31        31        31  /  
 -3*\/ 2 *atan|-- - ------- - -------- + ------|  /     /      /         ___       ____     ____\\      /      /         ___       ____     ____\\\  ---------------------------------------------- 
              \31      31        31        31  /  |     |      |33   8*\/ 2    8*\/ 33    \/ 66 ||      |      |33   8*\/ 2    8*\/ 33    \/ 66 |||                        4                        
(-----------------------------------------------, |- sin|2*atan|-- - ------- - -------- + ------|| + cos|2*atan|-- - ------- - -------- + ------|||*e                                              )
                        4                         \     \      \31      31        31        31  //      \      \31      31        31        31  ///


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=32atan⁡(−83331−3331+6631+8231)4x_{1} = \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{33}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{8 \sqrt{2}}{31} \right)}}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=−32atan⁡(−83331−8231+6631+3331)4x_{1} = - \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{8 \sqrt{2}}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{33}{31} \right)}}{4}
Decrece en los intervalos
[32atan⁡(−83331−3331+6631+8231)4,−32atan⁡(−83331−8231+6631+3331)4]\left[\frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{33}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{8 \sqrt{2}}{31} \right)}}{4}, - \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{8 \sqrt{2}}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{33}{31} \right)}}{4}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,32atan⁡(−83331−3331+6631+8231)4]∪[−32atan⁡(−83331−8231+6631+3331)4,∞)\left(-\infty, \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{33}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{8 \sqrt{2}}{31} \right)}}{4}\right] \cup \left[- \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(- \frac{8 \sqrt{33}}{31} - \frac{8 \sqrt{2}}{31} + \frac{\sqrt{66}}{31} + \frac{33}{31} \right)}}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((sin⁡(2⋅4x3)+cos⁡(2⋅4x3))ex3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞((sin⁡(2⋅4x3)+cos⁡(2⋅4x3))ex3)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (cos(((4*x)*sqrt(2))/3) + sin(((4*x)*sqrt(2))/3))*exp(x/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((sin⁡(2⋅4x3)+cos⁡(2⋅4x3))ex3x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((sin⁡(2⋅4x3)+cos⁡(2⋅4x3))ex3x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(sin⁡(2⋅4x3)+cos⁡(2⋅4x3))ex3=(−sin⁡(42x3)+cos⁡(42x3))e−x3\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}} = \left(- \sin{\left(\frac{4 \sqrt{2} x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{4 \sqrt{2} x}{3} \right)}\right) e^{- \frac{x}{3}}
- No
(sin⁡(2⋅4x3)+cos⁡(2⋅4x3))ex3=−(−sin⁡(42x3)+cos⁡(42x3))e−x3\left(\sin{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{\sqrt{2} \cdot 4 x}{3} \right)}\right) e^{\frac{x}{3}} = - \left(- \sin{\left(\frac{4 \sqrt{2} x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{4 \sqrt{2} x}{3} \right)}\right) e^{- \frac{x}{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (cos(4*x*sqrt(2)/3)+sin(4*x*sqrt(2)/3))*exp(x/3)
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