Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(314.16*x)

Gráfico de la función y = sin(314.16*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /7854*x\
f(x) = sin|------|
          \  25  /
f(x)=sin⁡(7854x25)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{7854 x}{25} \right)} 
f = sin(7854*x/25)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(7854x25)=0\sin{\left(\frac{7854 x}{25} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=25π7854x_{2} = \frac{25 \pi}{7854}
Solución numérica
x1=−46.6298909590311x_{1} = -46.6298909590311
x2=93.4997813568391x_{2} = 93.4997813568391
x3=15.339964128491x_{3} = 15.339964128491
x4=37.5299122387398x_{4} = 37.5299122387398
x5=−47.8098881996842x_{5} = -47.8098881996842
x6=−71.0598338311977x_{6} = -71.0598338311977
x7=−17.7999583759544x_{7} = -17.7999583759544
x8=−66.2598450556594x_{8} = -66.2598450556594
x9=24.3899429657038x_{9} = 24.3899429657038
x10=−62.109854760142x_{10} = -62.109854760142
x11=−87.7097948963461x_{11} = -87.7097948963461
x12=45.7998928999276x_{12} = 45.7998928999276
x13=−55.809869492248x_{13} = -55.809869492248
x14=26.4199382186919x_{14} = 26.4199382186919
x15=−70.4598352342554x_{15} = -70.4598352342554
x16=76.8298203384593x_{16} = 76.8298203384593
x17=94.00978016424x_{17} = 94.00978016424
x18=84.7198018882503x_{18} = 84.7198018882503
x19=100.309765432134x_{19} = 100.309765432134
x20=−13.6999679635155x_{20} = -13.6999679635155
x21=−43.8298975066338x_{21} = -43.8298975066338
x22=46.1298921282458x_{22} = 46.1298921282458
x23=−12.5899705591722x_{23} = -12.5899705591722
x24=−49.8098835228252x_{24} = -49.8098835228252
x25=−25.7899396919025x_{25} = -25.7899396919025
x26=−74.1598265820662x_{26} = -74.1598265820662
x27=−21.7799490690049x_{27} = -21.7799490690049
x28=10.3199758674073x_{28} = 10.3199758674073
x29=−95.6997762122941x_{29} = -95.6997762122941
x30=−80.2098124345675x_{30} = -80.2098124345675
x31=−39.8399068369676x_{31} = -39.8399068369676
x32=0x_{32} = 0
x33=78.9698153342201x_{33} = 78.9698153342201
x34=2.25999471514927x_{34} = 2.25999471514927
x35=75.1398242904052x_{35} = 75.1398242904052
x36=20.85995122036x_{36} = 20.85995122036
x37=−3.78999113735209x_{37} = -3.78999113735209
x38=−81.7698087866175x_{38} = -81.7698087866175
x39=−58.0398642775502x_{39} = -58.0398642775502
x40=−97.7297714652822x_{40} = -97.7297714652822
x41=12.3199711905482x_{41} = 12.3199711905482
x42=−51.8098788459661x_{42} = -51.8098788459661
x43=−53.8098741691071x_{43} = -53.8098741691071
x44=28.8399325596924x_{44} = 28.8399325596924
x45=−93.7497807722317x_{45} = -93.7497807722317
x46=−40.4899053169884x_{46} = -40.4899053169884
x47=−1.74999590774833x_{47} = -1.74999590774833
x48=−75.8098227236574x_{48} = -75.8098227236574
x49=58.4498633187941x_{49} = 58.4498633187941
x50=−34.4499194411027x_{50} = -34.4499194411027
x51=98.3497700154559x_{51} = 98.3497700154559
x52=−72.8298296921774x_{52} = -72.8298296921774
x53=69.1898382040609x_{53} = 69.1898382040609
x54=−83.7698041097584x_{54} = -83.7698041097584
x55=8.28998061441921x_{55} = 8.28998061441921
x56=6.20998547835263x_{56} = 6.20998547835263
x57=48.8898856741803x_{57} = 48.8898856741803
x58=−99.7397667650388x_{58} = -99.7397667650388
x59=−19.7799537458639x_{59} = -19.7799537458639
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(7854*x/25).
sin⁡(0⋅785425)\sin{\left(\frac{0 \cdot 7854}{25} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
7854cos⁡(7854x25)25=0\frac{7854 \cos{\left(\frac{7854 x}{25} \right)}}{25} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=25π15708x_{1} = \frac{25 \pi}{15708}
x2=25π5236x_{2} = \frac{25 \pi}{5236}
Signos de extremos en los puntos:
 25*pi    
(-----, 1)
 15708    

 25*pi     
(-----, -1)
  5236


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=25π5236x_{1} = \frac{25 \pi}{5236}
Puntos máximos de la función:
x1=25π15708x_{1} = \frac{25 \pi}{15708}
Decrece en los intervalos
(−∞,25π15708]∪[25π5236,∞)\left(-\infty, \frac{25 \pi}{15708}\right] \cup \left[\frac{25 \pi}{5236}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[25π15708,25π5236]\left[\frac{25 \pi}{15708}, \frac{25 \pi}{5236}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−61685316sin⁡(7854x25)625=0- \frac{61685316 \sin{\left(\frac{7854 x}{25} \right)}}{625} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=25π7854x_{2} = \frac{25 \pi}{7854}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[25π7854,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{25 \pi}{7854}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,25π7854]\left[0, \frac{25 \pi}{7854}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(7854x25)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{7854 x}{25} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(7854x25)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{7854 x}{25} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(7854*x/25), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(7854x25)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{7854 x}{25} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(7854x25)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{7854 x}{25} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(7854x25)=−sin⁡(7854x25)\sin{\left(\frac{7854 x}{25} \right)} = - \sin{\left(\frac{7854 x}{25} \right)}
- No
sin⁡(7854x25)=sin⁡(7854x25)\sin{\left(\frac{7854 x}{25} \right)} = \sin{\left(\frac{7854 x}{25} \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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