Sr Examen

Gráfico de la función y = sin^6x+cos^6x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          6         6   
f(x) = sin (x) + cos (x)
f(x)=sin6(x)+cos6(x)f{\left(x \right)} = \sin^{6}{\left(x \right)} + \cos^{6}{\left(x \right)}
f = sin(x)^6 + cos(x)^6
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.02.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin6(x)+cos6(x)=0\sin^{6}{\left(x \right)} + \cos^{6}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)^6 + cos(x)^6.
sin6(0)+cos6(0)\sin^{6}{\left(0 \right)} + \cos^{6}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6sin5(x)cos(x)6sin(x)cos5(x)=06 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)} \cos^{5}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=3π4x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}
x3=π2x_{3} = - \frac{\pi}{2}
x4=π4x_{4} = - \frac{\pi}{4}
x5=π4x_{5} = \frac{\pi}{4}
x6=π2x_{6} = \frac{\pi}{2}
x7=3π4x_{7} = \frac{3 \pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

 -3*pi      
(-----, 1/4)
   4        

 -pi     
(----, 1)
  2      

 -pi       
(----, 1/4)
  4        

 pi      
(--, 1/4)
 4       

 pi    
(--, 1)
 2     

 3*pi      
(----, 1/4)
  4        


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=π4x_{2} = - \frac{\pi}{4}
x3=π4x_{3} = \frac{\pi}{4}
x4=3π4x_{4} = \frac{3 \pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x4=0x_{4} = 0
x4=π2x_{4} = - \frac{\pi}{2}
x4=π2x_{4} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
[3π4,)\left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(,3π4]\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(sin6(x)+5sin4(x)cos2(x)+5sin2(x)cos4(x)cos6(x))=06 \left(- \sin^{6}{\left(x \right)} + 5 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 5 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - \cos^{6}{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2atan(1+222+2)x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}
x2=2atan(1+222+2)x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}
x3=2atan(1+2+22+2)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}
x4=2atan(1+2+22+2)x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}
x5=2atan(2+1+222)x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}
x6=2atan(2+1+222)x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} \right)}
x7=2atan(22+2+1+2)x_{7} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}
x8=2atan(22+2+1+2)x_{8} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2atan(1+222+2),)\left[2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(,2atan(1+2+22+2)]\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(sin6(x)+cos6(x))=0,2\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{6}{\left(x \right)} + \cos^{6}{\left(x \right)}\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0,2y = \left\langle 0, 2\right\rangle
limx(sin6(x)+cos6(x))=0,2\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{6}{\left(x \right)} + \cos^{6}{\left(x \right)}\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0,2y = \left\langle 0, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^6 + cos(x)^6, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(sin6(x)+cos6(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{6}{\left(x \right)} + \cos^{6}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx(sin6(x)+cos6(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{6}{\left(x \right)} + \cos^{6}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin6(x)+cos6(x)=sin6(x)+cos6(x)\sin^{6}{\left(x \right)} + \cos^{6}{\left(x \right)} = \sin^{6}{\left(x \right)} + \cos^{6}{\left(x \right)}
- Sí
sin6(x)+cos6(x)=sin6(x)cos6(x)\sin^{6}{\left(x \right)} + \cos^{6}{\left(x \right)} = - \sin^{6}{\left(x \right)} - \cos^{6}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par