Sr Examen

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ctg3x
Trazado el gráfico de la función/ ctg3x

Gráfico de la función y = ctg3x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cot(3*x)
f(x)=cot⁡(3x)f{\left(x \right)} = \cot{\left(3 x \right)} 
f = cot(3*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cot⁡(3x)=0\cot{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
Solución numérica
x1=−27.7507351067098x_{1} = -27.7507351067098
x2=−47.6474885794452x_{2} = -47.6474885794452
x3=27.7507351067098x_{3} = 27.7507351067098
x4=73.8274273593601x_{4} = 73.8274273593601
x5=−31.9395253114962x_{5} = -31.9395253114962
x6=34.0339204138894x_{6} = 34.0339204138894
x7=−89.5353906273091x_{7} = -89.5353906273091
x8=−41.3643032722656x_{8} = -41.3643032722656
x9=42.4115008234622x_{9} = 42.4115008234622
x10=−5.75958653158129x_{10} = -5.75958653158129
x11=14.1371669411541x_{11} = 14.1371669411541
x12=31.9395253114962x_{12} = 31.9395253114962
x13=−1.5707963267949x_{13} = -1.5707963267949
x14=40.317105721069x_{14} = 40.317105721069
x15=44.5058959258554x_{15} = 44.5058959258554
x16=−67.5442420521806x_{16} = -67.5442420521806
x17=16.2315620435473x_{17} = 16.2315620435473
x18=−18.3259571459405x_{18} = -18.3259571459405
x19=−100.007366139275x_{19} = -100.007366139275
x20=5.75958653158129x_{20} = 5.75958653158129
x21=−78.0162175641465x_{21} = -78.0162175641465
x22=−80.1106126665397x_{22} = -80.1106126665397
x23=36.1283155162826x_{23} = 36.1283155162826
x24=−91.6297857297023x_{24} = -91.6297857297023
x25=−60.2138591938044x_{25} = -60.2138591938044
x26=95.8185759344887x_{26} = 95.8185759344887
x27=−3.66519142918809x_{27} = -3.66519142918809
x28=46.6002910282486x_{28} = 46.6002910282486
x29=−34.0339204138894x_{29} = -34.0339204138894
x30=71.733032256967x_{30} = 71.733032256967
x31=−69.6386371545737x_{31} = -69.6386371545737
x32=92.6769832808989x_{32} = 92.6769832808989
x33=−97.9129710368819x_{33} = -97.9129710368819
x34=−12.0427718387609x_{34} = -12.0427718387609
x35=60.2138591938044x_{35} = 60.2138591938044
x36=−19.3731546971371x_{36} = -19.3731546971371
x37=69.6386371545737x_{37} = 69.6386371545737
x38=75.9218224617533x_{38} = 75.9218224617533
x39=78.0162175641465x_{39} = 78.0162175641465
x40=−29.845130209103x_{40} = -29.845130209103
x41=−38.2227106186758x_{41} = -38.2227106186758
x42=−75.9218224617533x_{42} = -75.9218224617533
x43=−25.6563400043166x_{43} = -25.6563400043166
x44=20.4203522483337x_{44} = 20.4203522483337
x45=3.66519142918809x_{45} = 3.66519142918809
x46=−87.4409955249159x_{46} = -87.4409955249159
x47=53.9306738866248x_{47} = 53.9306738866248
x48=38.2227106186758x_{48} = 38.2227106186758
x49=−21.4675497995303x_{49} = -21.4675497995303
x50=−71.733032256967x_{50} = -71.733032256967
x51=2.61799387799149x_{51} = 2.61799387799149
x52=7.85398163397448x_{52} = 7.85398163397448
x53=12.0427718387609x_{53} = 12.0427718387609
x54=24.60914245312x_{54} = 24.60914245312
x55=93.7241808320955x_{55} = 93.7241808320955
x56=−63.3554518473942x_{56} = -63.3554518473942
x57=64.4026493985908x_{57} = 64.4026493985908
x58=−9.94837673636768x_{58} = -9.94837673636768
x59=−14.1371669411541x_{59} = -14.1371669411541
x60=−51.8362787842316x_{60} = -51.8362787842316
x61=−16.2315620435473x_{61} = -16.2315620435473
x62=9.94837673636768x_{62} = 9.94837673636768
x63=−62.3082542961976x_{63} = -62.3082542961976
x64=58.1194640914112x_{64} = 58.1194640914112
x65=49.7418836818384x_{65} = 49.7418836818384
x66=18.3259571459405x_{66} = 18.3259571459405
x67=−95.8185759344887x_{67} = -95.8185759344887
x68=−36.1283155162826x_{68} = -36.1283155162826
x69=86.3937979737193x_{69} = 86.3937979737193
x70=62.3082542961976x_{70} = 62.3082542961976
x71=−56.025068989018x_{71} = -56.025068989018
x72=−49.7418836818384x_{72} = -49.7418836818384
x73=47.6474885794452x_{73} = 47.6474885794452
x74=97.9129710368819x_{74} = 97.9129710368819
x75=84.2994028713261x_{75} = 84.2994028713261
x76=56.025068989018x_{76} = 56.025068989018
x77=90.5825881785057x_{77} = 90.5825881785057
x78=−23.5619449019235x_{78} = -23.5619449019235
x79=66.497044500984x_{79} = 66.497044500984
x80=−82.2050077689329x_{80} = -82.2050077689329
x81=−40.317105721069x_{81} = -40.317105721069
x82=−7.85398163397448x_{82} = -7.85398163397448
x83=80.1106126665397x_{83} = 80.1106126665397
x84=−93.7241808320955x_{84} = -93.7241808320955
x85=68.5914396033772x_{85} = 68.5914396033772
x86=−53.9306738866248x_{86} = -53.9306738866248
x87=29.845130209103x_{87} = 29.845130209103
x88=−73.8274273593601x_{88} = -73.8274273593601
x89=25.6563400043166x_{89} = 25.6563400043166
x90=−85.3466004225227x_{90} = -85.3466004225227
x91=51.8362787842316x_{91} = 51.8362787842316
x92=100.007366139275x_{92} = 100.007366139275
x93=−45.553093477052x_{93} = -45.553093477052
x94=82.2050077689329x_{94} = 82.2050077689329
x95=−43.4586983746588x_{95} = -43.4586983746588
x96=22.5147473507269x_{96} = 22.5147473507269
x97=−84.2994028713261x_{97} = -84.2994028713261
x98=−65.4498469497874x_{98} = -65.4498469497874
x99=88.4881930761125x_{99} = 88.4881930761125
x100=−58.1194640914112x_{100} = -58.1194640914112
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cot(3*x).
cot⁡(0⋅3)\cot{\left(0 \cdot 3 \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3cot⁡2(3x)−3=0- 3 \cot^{2}{\left(3 x \right)} - 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
18(cot⁡2(3x)+1)cot⁡(3x)=018 \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \cot{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π6]\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right]
Convexa en los intervalos
[π6,∞)\left[\frac{\pi}{6}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cot⁡(3x)=−cot⁡(∞)\lim_{x \to -\infty} \cot{\left(3 x \right)} = - \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−cot⁡(∞)y = - \cot{\left(\infty \right)}
lim⁡x→∞cot⁡(3x)=cot⁡(∞)\lim_{x \to \infty} \cot{\left(3 x \right)} = \cot{\left(\infty \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=cot⁡(∞)y = \cot{\left(\infty \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cot(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(cot⁡(3x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(3 x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(cot⁡(3x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(3 x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cot⁡(3x)=−cot⁡(3x)\cot{\left(3 x \right)} = - \cot{\left(3 x \right)}
- No
cot⁡(3x)=cot⁡(3x)\cot{\left(3 x \right)} = \cot{\left(3 x \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico
Gráfico de la función y = ctg3x
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