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Trazado el gráfico de la función/ y=(1)/ln|x|

Gráfico de la función y = y=(1)/ln|x|

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          1    
f(x) = --------
       log(|x|)
f(x)=1log⁡(∣x∣)f{\left(x \right)} = \frac{1}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}} 
f = 1/log(|x|)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1log⁡(∣x∣)=0\frac{1}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/log(|x|).
1log⁡(∣0∣)\frac{1}{\log{\left(\left|{0}\right| \right)}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sign⁡(x)log⁡(∣x∣)2∣x∣=0- \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}^{2} \left|{x}\right|} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2δ(x)∣x∣+sign⁡2(x)x2+2sign⁡2(x)x2log⁡(∣x∣)log⁡(∣x∣)2=0\frac{- \frac{2 \delta\left(x\right)}{\left|{x}\right|} + \frac{\operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{x^{2} \log{\left(\left|{x}\right| \right)}}}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1e2x_{1} = - \frac{1}{e^{2}}
x2=e−2x_{2} = e^{-2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→−1−(−2δ(x)∣x∣+sign⁡2(x)x2+2sign⁡2(x)x2log⁡(∣x∣)log⁡(∣x∣)2)=∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{- \frac{2 \delta\left(x\right)}{\left|{x}\right|} + \frac{\operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{x^{2} \log{\left(\left|{x}\right| \right)}}}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→−1+(−2δ(x)∣x∣+sign⁡2(x)x2+2sign⁡2(x)x2log⁡(∣x∣)log⁡(∣x∣)2)=−∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{- \frac{2 \delta\left(x\right)}{\left|{x}\right|} + \frac{\operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{x^{2} \log{\left(\left|{x}\right| \right)}}}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}^{2}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión
lim⁡x→1−(−2δ(x)∣x∣+sign⁡2(x)x2+2sign⁡2(x)x2log⁡(∣x∣)log⁡(∣x∣)2)=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{2 \delta\left(x\right)}{\left|{x}\right|} + \frac{\operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{x^{2} \log{\left(\left|{x}\right| \right)}}}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→1+(−2δ(x)∣x∣+sign⁡2(x)x2+2sign⁡2(x)x2log⁡(∣x∣)log⁡(∣x∣)2)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{2 \delta\left(x\right)}{\left|{x}\right|} + \frac{\operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{x^{2} \log{\left(\left|{x}\right| \right)}}}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=1x_{2} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−1e2,e−2]\left[- \frac{1}{e^{2}}, e^{-2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−1e2]∪[e−2,∞)\left(-\infty, - \frac{1}{e^{2}}\right] \cup \left[e^{-2}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1log⁡(∣x∣)=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞1log⁡(∣x∣)=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/log(|x|), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1xlog⁡(∣x∣))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \log{\left(\left|{x}\right| \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1xlog⁡(∣x∣))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \log{\left(\left|{x}\right| \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1log⁡(∣x∣)=1log⁡(∣x∣)\frac{1}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}} = \frac{1}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}}
- Sí
1log⁡(∣x∣)=−1log⁡(∣x∣)\frac{1}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}} = - \frac{1}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}}
- No
es decir, función
es
par
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