Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- 6 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
_____
pi asin(1/12) pi \/ 143 asin(1/12)
(-- + ----------, 2 - -- - ------- - ----------)
2 2 4 4 4
_____
-asin(1/12) \/ 143 asin(1/12)
(------------, 2 + ------- + ----------)
2 4 4
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2}\right] \cup \left[\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2}, \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}\right]$$