Sr Examen

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Gráfico de la función y = 3*cos(2*x)-(1/2)*x+2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                    x    
f(x) = 3*cos(2*x) - - + 2
                    2    
$$f{\left(x \right)} = \left(- \frac{x}{2} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 2$$
f = -x/2 + 3*cos(2*x) + 2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- \frac{x}{2} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 2 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 9.60679759115721$$
$$x_{2} = -1.33274891766803$$
$$x_{3} = -1.72324970239459$$
$$x_{4} = 3.93260701699954$$
$$x_{5} = 9.15643263788912$$
$$x_{6} = 2.20421645797405$$
$$x_{7} = 5.63585653629601$$
$$x_{8} = 6.82359830120288$$
$$x_{9} = 1.04306357625535$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*cos(2*x) - x/2 + 2.
$$2 + \left(- 0 + 3 \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 5$$
Punto:
(0, 5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 6 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
                             _____              
 pi   asin(1/12)      pi   \/ 143    asin(1/12) 
(-- + ----------, 2 - -- - ------- - ----------)
 2        2           4       4          4      

                     _____              
 -asin(1/12)       \/ 143    asin(1/12) 
(------------, 2 + ------- + ----------)
      2               4          4      


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2}\right] \cup \left[\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2}, \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 12 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \frac{x}{2} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 2\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \frac{x}{2} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 2\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*cos(2*x) - x/2 + 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{x}{2} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 2}{x}\right) = - \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{x}{2} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 2}{x}\right) = - \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - \frac{x}{2}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- \frac{x}{2} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 2 = \frac{x}{2} + 3 \cos{\left(2 x \right)} + 2$$
- No
$$\left(- \frac{x}{2} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 2 = - \frac{x}{2} - 3 \cos{\left(2 x \right)} - 2$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar