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Trazado el gráfico de la función/ 3*cos(2*x)-(1/2)*x+2

Gráfico de la función y = 3*cos(2*x)-(1/2)*x+2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                    x    
f(x) = 3*cos(2*x) - - + 2
                    2
f(x)=(−x2+3cos⁡(2x))+2f{\left(x \right)} = \left(- \frac{x}{2} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 2 
f = -x/2 + 3*cos(2*x) + 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x2+3cos⁡(2x))+2=0\left(- \frac{x}{2} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=9.60679759115721x_{1} = 9.60679759115721
x2=−1.33274891766803x_{2} = -1.33274891766803
x3=−1.72324970239459x_{3} = -1.72324970239459
x4=3.93260701699954x_{4} = 3.93260701699954
x5=9.15643263788912x_{5} = 9.15643263788912
x6=2.20421645797405x_{6} = 2.20421645797405
x7=5.63585653629601x_{7} = 5.63585653629601
x8=6.82359830120288x_{8} = 6.82359830120288
x9=1.04306357625535x_{9} = 1.04306357625535
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*cos(2*x) - x/2 + 2.
2+(−0+3cos⁡(0⋅2))2 + \left(- 0 + 3 \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=5f{\left(0 \right)} = 5
Punto:
(0, 5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−6sin⁡(2x)−12=0- 6 \sin{\left(2 x \right)} - \frac{1}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=asin⁡(112)2+π2x_{1} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}
x2=−asin⁡(112)2x_{2} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
                             _____              
 pi   asin(1/12)      pi   \/ 143    asin(1/12) 
(-- + ----------, 2 - -- - ------- - ----------)
 2        2           4       4          4      

                     _____              
 -asin(1/12)       \/ 143    asin(1/12) 
(------------, 2 + ------- + ----------)
      2               4          4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=asin⁡(112)2+π2x_{1} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=−asin⁡(112)2x_{1} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−asin⁡(112)2]∪[asin⁡(112)2+π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2}\right] \cup \left[\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−asin⁡(112)2,asin⁡(112)2+π2]\left[- \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2}, \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{12} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−12cos⁡(2x)=0- 12 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π4,3π4]\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π4]∪[3π4,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−x2+3cos⁡(2x))+2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- \frac{x}{2} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 2\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−x2+3cos⁡(2x))+2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- \frac{x}{2} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 2\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*cos(2*x) - x/2 + 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x2+3cos⁡(2x))+2x)=−12\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{x}{2} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 2}{x}\right) = - \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−x2y = - \frac{x}{2}
lim⁡x→∞((−x2+3cos⁡(2x))+2x)=−12\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{x}{2} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 2}{x}\right) = - \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−x2y = - \frac{x}{2}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x2+3cos⁡(2x))+2=x2+3cos⁡(2x)+2\left(- \frac{x}{2} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 2 = \frac{x}{2} + 3 \cos{\left(2 x \right)} + 2
- No
(−x2+3cos⁡(2x))+2=−x2−3cos⁡(2x)−2\left(- \frac{x}{2} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 2 = - \frac{x}{2} - 3 \cos{\left(2 x \right)} - 2
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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