Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ 1+cos(t)

Gráfico de la función y = 1+cos(t)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(t) = 1 + cos(t)
f(t)=cos⁡(t)+1f{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)} + 1 
f = cos(t) + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(t)+1=0\cos{\left(t \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:

Solución analítica
t1=πt_{1} = \pi
Solución numérica
t1=−84.8230012511693t_{1} = -84.8230012511693
t2=47.1238902162437t_{2} = 47.1238902162437
t3=97.389372581711t_{3} = 97.389372581711
t4=−91.1061864815274t_{4} = -91.1061864815274
t5=−40.8407049008781t_{5} = -40.8407049008781
t6=65.9734457529812t_{6} = 65.9734457529812
t7=−65.9734449870253t_{7} = -65.9734449870253
t8=−47.1238893275319t_{8} = -47.1238893275319
t9=−59.6902599212271t_{9} = -59.6902599212271
t10=59.6902599104079t_{10} = 59.6902599104079
t11=−47.1238901083229t_{11} = -47.1238901083229
t12=40.8407049800347t_{12} = 40.8407049800347
t13=−15.7079635641079t_{13} = -15.7079635641079
t14=−59.6902604578012t_{14} = -59.6902604578012
t15=47.123889410773t_{15} = 47.123889410773
t16=−34.5575188899093t_{16} = -34.5575188899093
t17=72.2566315166773t_{17} = 72.2566315166773
t18=84.8230013636028t_{18} = 84.8230013636028
t19=−97.3893716284562t_{19} = -97.3893716284562
t20=34.5575195449229t_{20} = 34.5575195449229
t21=−21.991148226056t_{21} = -21.991148226056
t22=−40.8407040952604t_{22} = -40.8407040952604
t23=40.8407045792514t_{23} = 40.8407045792514
t24=28.2743343711514t_{24} = 28.2743343711514
t25=91.1061865667532t_{25} = 91.1061865667532
t26=−40.8407049290801t_{26} = -40.8407049290801
t27=−65.9734461969855t_{27} = -65.9734461969855
t28=−97.3893724533348t_{28} = -97.3893724533348
t29=78.5398161804942t_{29} = 78.5398161804942
t30=28.2743338651796t_{30} = 28.2743338651796
t31=−53.407075294995t_{31} = -53.407075294995
t32=−9.42477752082051t_{32} = -9.42477752082051
t33=21.9911489072506t_{33} = 21.9911489072506
t34=−84.8230020565447t_{34} = -84.8230020565447
t35=−1127.83176318906t_{35} = -1127.83176318906
t36=−78.5398160472843t_{36} = -78.5398160472843
t37=15.7079627593774t_{37} = 15.7079627593774
t38=−3.14159217367683t_{38} = -3.14159217367683
t39=34.5575197055812t_{39} = 34.5575197055812
t40=−21.9911485864417t_{40} = -21.9911485864417
t41=21.9911480932338t_{41} = 21.9911480932338
t42=91.1061873718352t_{42} = 91.1061873718352
t43=−3.14159295109225t_{43} = -3.14159295109225
t44=−15.707962774825t_{44} = -15.707962774825
t45=78.5398152766482t_{45} = 78.5398152766482
t46=15.7079634518075t_{46} = 15.7079634518075
t47=15.7079629803241t_{47} = 15.7079629803241
t48=21.9911485852059t_{48} = 21.9911485852059
t49=−65.9734457649277t_{49} = -65.9734457649277
t50=9.42477748794163t_{50} = 9.42477748794163
t51=−9.4247781365785t_{51} = -9.4247781365785
t52=−72.2566315419804t_{52} = -72.2566315419804
t53=59.6902606104322t_{53} = 59.6902606104322
t54=72.2566310277176t_{54} = 72.2566310277176
t55=−91.106187265474t_{55} = -91.106187265474
t56=−65.9734453607004t_{56} = -65.9734453607004
t57=59.6902600526626t_{57} = 59.6902600526626
t58=97.3893717959212t_{58} = 97.3893717959212
t59=−21.9911490521325t_{59} = -21.9911490521325
t60=−34.5575196658297t_{60} = -34.5575196658297
t61=−28.2743340989896t_{61} = -28.2743340989896
t62=−53.4070745963886t_{62} = -53.4070745963886
t63=78.5398166181283t_{63} = 78.5398166181283
t64=53.407075424589t_{64} = 53.407075424589
t65=−72.2566308657983t_{65} = -72.2566308657983
t66=−53.4070745786761t_{66} = -53.4070745786761
t67=40.8407045848602t_{67} = 40.8407045848602
t68=9.42477826738203t_{68} = 9.42477826738203
t69=3.14159306054457t_{69} = 3.14159306054457
t70=15.707963957033t_{70} = 15.707963957033
t71=−9.42477744529557t_{71} = -9.42477744529557
t72=53.4070766553897t_{72} = 53.4070766553897
t73=−59.6902606928653t_{73} = -59.6902606928653
t74=72.2566306985t_{74} = 72.2566306985
t75=−28.2743343914215t_{75} = -28.2743343914215
t76=−97.3893717476911t_{76} = -97.3893717476911
t77=84.8230021335997t_{77} = 84.8230021335997
t78=78.5398168562347t_{78} = 78.5398168562347
t79=65.9734452390837t_{79} = 65.9734452390837
t80=−78.5398168194507t_{80} = -78.5398168194507
t81=−28.2743337069329t_{81} = -28.2743337069329
t82=78.5398149750205t_{82} = 78.5398149750205
t83=34.5575190219169t_{83} = 34.5575190219169
t84=53.4070746418597t_{84} = 53.4070746418597
t85=−72.2566311847166t_{85} = -72.2566311847166
t86=40.8407042062167t_{86} = 40.8407042062167
t87=65.9734460390947t_{87} = 65.9734460390947
t88=−15.7079632965989t_{88} = -15.7079632965989
t89=3.1415922548952t_{89} = 3.1415922548952
t90=28.2743335663982t_{90} = 28.2743335663982
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando t es igual a 0:
sustituimos t = 0 en 1 + cos(t).
1+cos⁡(0)1 + \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddtf(t)=0\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddtf(t)=\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} =
primera derivada
−sin⁡(t)=0- \sin{\left(t \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=0t_{1} = 0
t2=πt_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)

(pi, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
t1=πt_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
t1=0t_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dt2f(t)=0\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dt2f(t)=\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(t)=0- \cos{\left(t \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=π2t_{1} = \frac{\pi}{2}
t2=3π2t_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
lim⁡t→−∞(cos⁡(t)+1)=⟨0,2⟩\lim_{t \to -\infty}\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
lim⁡t→∞(cos⁡(t)+1)=⟨0,2⟩\lim_{t \to \infty}\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 + cos(t), dividida por t con t->+oo y t ->-oo
lim⁡t→−∞(cos⁡(t)+1t)=0\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(t \right)} + 1}{t}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡t→∞(cos⁡(t)+1t)=0\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(t \right)} + 1}{t}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
cos⁡(t)+1=cos⁡(t)+1\cos{\left(t \right)} + 1 = \cos{\left(t \right)} + 1
- Sí
cos⁡(t)+1=−cos⁡(t)−1\cos{\left(t \right)} + 1 = - \cos{\left(t \right)} - 1
- No
es decir, función
es
par
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