Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (1/2)*cos(x/3)

Gráfico de la función y = (1/2)*cos(x/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x\
       cos|-|
          \3/
f(x) = ------
         2
f(x)=cos⁡(x3)2f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{2} 
f = cos(x/3)/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101-1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x3)2=0\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}
x2=9π2x_{2} = \frac{9 \pi}{2}
Solución numérica
x1=4.71238898038469x_{1} = 4.71238898038469
x2=−89.5353906273091x_{2} = -89.5353906273091
x3=70.6858347057703x_{3} = 70.6858347057703
x4=−98.9601685880785x_{4} = -98.9601685880785
x5=−23.5619449019235x_{5} = -23.5619449019235
x6=23.5619449019235x_{6} = 23.5619449019235
x7=61.261056745001x_{7} = 61.261056745001
x8=5659.57916544201x_{8} = 5659.57916544201
x9=−32.9867228626928x_{9} = -32.9867228626928
x10=−51.8362787842316x_{10} = -51.8362787842316
x11=−80.1106126665397x_{11} = -80.1106126665397
x12=98.9601685880785x_{12} = 98.9601685880785
x13=51.8362787842316x_{13} = 51.8362787842316
x14=−249.756615960389x_{14} = -249.756615960389
x15=2653.07499595658x_{15} = 2653.07499595658
x16=−4.71238898038469x_{16} = -4.71238898038469
x17=−14.1371669411541x_{17} = -14.1371669411541
x18=−70.6858347057703x_{18} = -70.6858347057703
x19=14.1371669411541x_{19} = 14.1371669411541
x20=89.5353906273091x_{20} = 89.5353906273091
x21=80.1106126665397x_{21} = 80.1106126665397
x22=−61.261056745001x_{22} = -61.261056745001
x23=−4867.89781673738x_{23} = -4867.89781673738
x24=−42.4115008234622x_{24} = -42.4115008234622
x25=32.9867228626928x_{25} = 32.9867228626928
x26=155.508836352695x_{26} = 155.508836352695
x27=42.4115008234622x_{27} = 42.4115008234622
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x/3)/2.
cos⁡(03)2\frac{\cos{\left(\frac{0}{3} \right)}}{2}
Resultado:
f(0)=12f{\left(0 \right)} = \frac{1}{2}
Punto:
(0, 1/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x3)6=0- \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{6} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=3πx_{2} = 3 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1/2)

(3*pi, -1/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3πx_{1} = 3 \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[3π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,3π]\left[0, 3 \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x3)18=0- \frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{18} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}
x2=9π2x_{2} = \frac{9 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[3π2,9π2]\left[\frac{3 \pi}{2}, \frac{9 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,3π2]∪[9π2,∞)\left(-\infty, \frac{3 \pi}{2}\right] \cup \left[\frac{9 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x3)2)=⟨−12,12⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−12,12⟩y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(x3)2)=⟨−12,12⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−12,12⟩y = \left\langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x/3)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x3)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x3)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x3)2=cos⁡(x3)2\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{2} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{2}
- No
cos⁡(x3)2=−cos⁡(x3)2\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{2} = - \frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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