Sr Examen

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x^3*sin(1/x)
Trazado el gráfico de la función/ x^3*sin(1/x)

Gráfico de la función y = x^3*sin(1/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3    /1\
f(x) = x *sin|-|
             \x/
f(x)=x3sin⁡(1x)f{\left(x \right)} = x^{3} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} 
f = x^3*sin(1/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010200-100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3sin⁡(1x)=0x^{3} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1πx_{1} = \frac{1}{\pi}
Solución numérica
x1=0.318309886183791x_{1} = 0.318309886183791
x2=−0.318309886183791x_{2} = -0.318309886183791
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3*sin(1/x).
03sin⁡(10)0^{3} \sin{\left(\frac{1}{0} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2sin⁡(1x)−xcos⁡(1x)=03 x^{2} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} - x \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−6.87208792474163⋅10−18x_{1} = -6.87208792474163 \cdot 10^{-18}
x2=3.03185478592975⋅10−6x_{2} = 3.03185478592975 \cdot 10^{-6}
x3=2.73683092156888⋅10−16x_{3} = 2.73683092156888 \cdot 10^{-16}
x4=−8.46178388920204⋅10−7x_{4} = -8.46178388920204 \cdot 10^{-7}
x5=−9.23986361453837⋅10−14x_{5} = -9.23986361453837 \cdot 10^{-14}
x6=−0.00081513577639446x_{6} = -0.00081513577639446
x7=3.75208136428567⋅10−7x_{7} = 3.75208136428567 \cdot 10^{-7}
x8=−5.58652497933276⋅10−8x_{8} = -5.58652497933276 \cdot 10^{-8}
x9=0.000156996256335747x_{9} = 0.000156996256335747
x10=−9.79989459005072⋅10−7x_{10} = -9.79989459005072 \cdot 10^{-7}
x11=−1.50843074849256⋅10−7x_{11} = -1.50843074849256 \cdot 10^{-7}
x12=2.9678562534811⋅10−15x_{12} = 2.9678562534811 \cdot 10^{-15}
x13=−1.82345380689016⋅10−12x_{13} = -1.82345380689016 \cdot 10^{-12}
x14=−6.49907620890821⋅10−13x_{14} = -6.49907620890821 \cdot 10^{-13}
x15=−3.94788876702534⋅10−13x_{15} = -3.94788876702534 \cdot 10^{-13}
x16=1.36231593443095⋅10−6x_{16} = 1.36231593443095 \cdot 10^{-6}
x17=−3.27710104682524⋅10−14x_{17} = -3.27710104682524 \cdot 10^{-14}
x18=−0.000102498759045654x_{18} = -0.000102498759045654
x19=−8.77733058157217⋅10−5x_{19} = -8.77733058157217 \cdot 10^{-5}
x20=2.22783614181651⋅10−6x_{20} = 2.22783614181651 \cdot 10^{-6}
x21=7.40428510301462⋅10−17x_{21} = 7.40428510301462 \cdot 10^{-17}
x22=−1.12104827325888⋅10−6x_{22} = -1.12104827325888 \cdot 10^{-6}
Signos de extremos en los puntos:
(-6.8720879247416276e-18, 4.01475361239192e-54)

(3.0318547859297452e-06, 2.78692440893493e-17)

(2.7368309215688823e-16, 1.02342132115384e-47)

(-8.461783889202042e-07, -6.05878844182739e-19)

(-9.239863614538373e-14, 3.77059881293504e-40)

(-0.0008151357763944603, 5.41612358880332e-10)

(3.752081364285669e-07, -5.28222313006544e-20)

(-5.586524979332757e-08, -1.74351318088738e-22)

(0.00015699625633574726, -3.86961574466131e-12)

(-9.799894590050715e-07, -9.41161629608014e-19)

(-1.5084307484925633e-07, -3.4322280004018e-21)

(2.9678562534810996e-15, 2.61046316712834e-44)

(-1.823453806890159e-12, 5.2667446650924e-36)

(-6.499076208908206e-13, 2.51660605153279e-37)

(-3.9478887670253393e-13, 4.10009907721571e-38)

(1.3623159344309541e-06, -2.52832855266433e-18)

(-3.277101046825241e-14, 3.50361249871386e-41)

(-0.00010249875904565374, -1.07685146123345e-12)

(-8.777330581572175e-05, 6.76218972644192e-13)

(2.22783614181651e-06, 1.10573163630074e-17)

(7.404285103014621e-17, -7.99114202598639e-50)

(-1.1210482732588836e-06, -1.40887655529792e-18)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−5.58652497933276⋅10−8x_{1} = -5.58652497933276 \cdot 10^{-8}
x2=0.000156996256335747x_{2} = 0.000156996256335747
x3=−1.50843074849256⋅10−7x_{3} = -1.50843074849256 \cdot 10^{-7}
x4=1.36231593443095⋅10−6x_{4} = 1.36231593443095 \cdot 10^{-6}
x5=−1.12104827325888⋅10−6x_{5} = -1.12104827325888 \cdot 10^{-6}
Puntos máximos de la función:
x5=−6.87208792474163⋅10−18x_{5} = -6.87208792474163 \cdot 10^{-18}
x5=2.73683092156888⋅10−16x_{5} = 2.73683092156888 \cdot 10^{-16}
x5=−9.23986361453837⋅10−14x_{5} = -9.23986361453837 \cdot 10^{-14}
x5=−0.00081513577639446x_{5} = -0.00081513577639446
x5=3.75208136428567⋅10−7x_{5} = 3.75208136428567 \cdot 10^{-7}
x5=2.9678562534811⋅10−15x_{5} = 2.9678562534811 \cdot 10^{-15}
x5=−3.27710104682524⋅10−14x_{5} = -3.27710104682524 \cdot 10^{-14}
x5=−8.77733058157217⋅10−5x_{5} = -8.77733058157217 \cdot 10^{-5}
x5=2.22783614181651⋅10−6x_{5} = 2.22783614181651 \cdot 10^{-6}
x5=7.40428510301462⋅10−17x_{5} = 7.40428510301462 \cdot 10^{-17}
Decrece en los intervalos
[0.000156996256335747,∞)\left[0.000156996256335747, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1.12104827325888⋅10−6]\left(-\infty, -1.12104827325888 \cdot 10^{-6}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6xsin⁡(1x)−4cos⁡(1x)−sin⁡(1x)x=06 x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} - 4 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3sin⁡(1x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x3sin⁡(1x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3*sin(1/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2sin⁡(1x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x2sin⁡(1x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3sin⁡(1x)=x3sin⁡(1x)x^{3} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} = x^{3} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}
- Sí
x3sin⁡(1x)=−x3sin⁡(1x)x^{3} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} = - x^{3} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = x^3*sin(1/x)
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