Sr Examen

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x-sin(x)
Trazado el gráfico de la función/ x-sin(x)

Gráfico de la función y = x-sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = x - sin(x)
f(x)=x−sin⁡(x)f{\left(x \right)} = x - \sin{\left(x \right)} 
f = x - sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2525
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−sin⁡(x)=0x - \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.000186205615884384x_{1} = 0.000186205615884384
x2=2.49127326983744⋅10−5x_{2} = 2.49127326983744 \cdot 10^{-5}
x3=0.000187685112066993x_{3} = 0.000187685112066993
x4=0.000157056351702437x_{4} = 0.000157056351702437
x5=−0.000119373030237671x_{5} = -0.000119373030237671
x6=0.000132920718924851x_{6} = 0.000132920718924851
x7=−0.000181578586037745x_{7} = -0.000181578586037745
x8=−3.17741918727463⋅10−5x_{8} = -3.17741918727463 \cdot 10^{-5}
x9=−2.30650948881143⋅10−5x_{9} = -2.30650948881143 \cdot 10^{-5}
x10=−1.80175000295583⋅10−5x_{10} = -1.80175000295583 \cdot 10^{-5}
x11=−0.000135184808718669x_{11} = -0.000135184808718669
x12=−0.000150650416849474x_{12} = -0.000150650416849474
x13=−0.000101863601827664x_{13} = -0.000101863601827664
x14=0.000103586989846506x_{14} = 0.000103586989846506
x15=9.87747756721168⋅10−5x_{15} = 9.87747756721168 \cdot 10^{-5}
x16=0.000116491909675764x_{16} = 0.000116491909675764
x17=0.000192883233096713x_{17} = 0.000192883233096713
x18=−0.000157696828020104x_{18} = -0.000157696828020104
x19=0x_{19} = 0
x20=−9.83485862207226⋅10−5x_{20} = -9.83485862207226 \cdot 10^{-5}
x21=−8.65514725283832⋅10−5x_{21} = -8.65514725283832 \cdot 10^{-5}
x22=−0.000152751605225569x_{22} = -0.000152751605225569
x23=0.000137906691427903x_{23} = 0.000137906691427903
x24=−1.47286646559006⋅10−5x_{24} = -1.47286646559006 \cdot 10^{-5}
x25=−0.000165445288810936x_{25} = -0.000165445288810936
x26=−2.52124917530246⋅10−5x_{26} = -2.52124917530246 \cdot 10^{-5}
x27=−2.1240493551041⋅10−5x_{27} = -2.1240493551041 \cdot 10^{-5}
x28=−0.000139957949205459x_{28} = -0.000139957949205459
x29=0.000147410258149109x_{29} = 0.000147410258149109
x30=−1.98408831575722⋅10−5x_{30} = -1.98408831575722 \cdot 10^{-5}
x31=0.000181808449257029x_{31} = 0.000181808449257029
x32=0.000115526349792461x_{32} = 0.000115526349792461
x33=−8.95231865768492⋅10−5x_{33} = -8.95231865768492 \cdot 10^{-5}
x34=0.000196758597791821x_{34} = 0.000196758597791821
x35=−0.000184329580774592x_{35} = -0.000184329580774592
x36=0.000158265439061853x_{36} = 0.000158265439061853
x37=−0.000153828220060634x_{37} = -0.000153828220060634
x38=−0.000175577662192217x_{38} = -0.000175577662192217
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x - sin(x).
−sin⁡(0)- \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1−cos⁡(x)=01 - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=2πx_{2} = 2 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

(2*pi, 2*pi)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Crece en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sin⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−sin⁡(x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x - \sin{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x−sin⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x - \sin{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x - sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−sin⁡(x)x)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x−sin⁡(x)x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−sin⁡(x)=−x+sin⁡(x)x - \sin{\left(x \right)} = - x + \sin{\left(x \right)}
- No
x−sin⁡(x)=x−sin⁡(x)x - \sin{\left(x \right)} = x - \sin{\left(x \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x-sin(x)
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