Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(-x^2-18*x-79)

Gráfico de la función y = sqrt(-x^2-18*x-79)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          __________________
         /    2             
f(x) = \/  - x  - 18*x - 79
f(x)=(−x2−18x)−79f{\left(x \right)} = \sqrt{\left(- x^{2} - 18 x\right) - 79} 
f = sqrt(-x^2 - 18*x - 79)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x2−18x)−79=0\sqrt{\left(- x^{2} - 18 x\right) - 79} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−9−2x_{1} = -9 - \sqrt{2}
x2=−9+2x_{2} = -9 + \sqrt{2}
Solución numérica
x1=−10.4142135623731x_{1} = -10.4142135623731
x2=−7.58578643762691x_{2} = -7.58578643762691
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(-x^2 - 18*x - 79).
−79+(−02−0)\sqrt{-79 + \left(- 0^{2} - 0\right)}
Resultado:
f(0)=79if{\left(0 \right)} = \sqrt{79} i
Punto:
(0, i*sqrt(79))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x−9(−x2−18x)−79=0\frac{- x - 9}{\sqrt{\left(- x^{2} - 18 x\right) - 79}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−9x_{1} = -9
Signos de extremos en los puntos:
       ___ 
(-9, \/ 2 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−9x_{1} = -9
Decrece en los intervalos
(−∞,−9]\left(-\infty, -9\right]
Crece en los intervalos
[−9,∞)\left[-9, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(x+9)2−x2−18x−79+1−x2−18x−79=0- \frac{\frac{\left(x + 9\right)^{2}}{- x^{2} - 18 x - 79} + 1}{\sqrt{- x^{2} - 18 x - 79}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x2−18x)−79=∞i\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left(- x^{2} - 18 x\right) - 79} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x2−18x)−79=∞i\lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(- x^{2} - 18 x\right) - 79} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(-x^2 - 18*x - 79), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x2−18x)−79x)=−i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(- x^{2} - 18 x\right) - 79}}{x}\right) = - i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−ixy = - i x
lim⁡x→∞((−x2−18x)−79x)=i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(- x^{2} - 18 x\right) - 79}}{x}\right) = i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=ixy = i x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x2−18x)−79=−x2+18x−79\sqrt{\left(- x^{2} - 18 x\right) - 79} = \sqrt{- x^{2} + 18 x - 79}
- No
(−x2−18x)−79=−−x2+18x−79\sqrt{\left(- x^{2} - 18 x\right) - 79} = - \sqrt{- x^{2} + 18 x - 79}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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