Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\left(\frac{\left(- 5 x \sin{\left(2 x \right)} + \left(- 10 x \cos{\left(2 x \right)} + \left(3 \sin{\left(2 x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)}\right)\right)\right) e^{2} e^{- x}}{25} - 1\right) e^{x} + \left(- \frac{\left(- 5 x \sin{\left(2 x \right)} + \left(- 10 x \cos{\left(2 x \right)} + \left(3 \sin{\left(2 x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)}\right)\right)\right) e^{2} e^{- x}}{25} + \frac{\left(20 x \sin{\left(2 x \right)} - 10 x \cos{\left(2 x \right)} + 3 \sin{\left(2 x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{2} e^{- x}}{25}\right) e^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -86.1625558175537$$
$$x_{2} = -42.180868035436$$
$$x_{3} = -26.4736167915785$$
$$x_{4} = -23.332282565423$$
$$x_{5} = -59.4592803626043$$
$$x_{6} = -87.7333417066779$$
$$x_{7} = -122.290699217015$$
$$x_{8} = -37.4686296462638$$
$$x_{9} = -95.5872763087217$$
$$x_{10} = 0.485642591920839$$
$$x_{11} = -12.3386658128028$$
$$x_{12} = -20.1910295447758$$
$$x_{13} = -81.4502005716198$$
$$x_{14} = -50.0346619693212$$
$$x_{15} = -72.0255033591792$$
$$x_{16} = -92.4457015068628$$
$$x_{17} = -51.6054276384411$$
$$x_{18} = -21.7616436866747$$
$$x_{19} = -7.62888295899474$$
$$x_{20} = -35.8978923510335$$
$$x_{21} = -64.1716071901995$$
$$x_{22} = -28.0443057693738$$
$$x_{23} = -15.4794117949441$$
$$x_{24} = -1.36525791181951$$
$$x_{25} = -65.742384785425$$
$$x_{26} = -67.3131632574602$$
$$x_{27} = -29.6150062107158$$
$$x_{28} = -0.356377966067794$$
$$x_{29} = -56.3177349431024$$
$$x_{30} = -34.3271604895018$$
$$x_{31} = 1.61431420148329$$
$$x_{32} = -4.49201527484935$$
$$x_{33} = -13.9089903085589$$
$$x_{34} = -57.8885070098078$$
$$x_{35} = -43.7516214066214$$
$$x_{36} = -78.308632669004$$
$$x_{37} = -94.0164887583458$$
$$x_{38} = -48.46389829568$$
$$x_{39} = -100.2996406125$$
$$x_{40} = -79.8794163763463$$
$$x_{41} = -6.05992334565186$$
$$x_{42} = -89.3041279638035$$
$$x_{43} = -70.4547225967174$$
$$x_{44} = -45.3223777683704$$
$$x_{45} = -73.5962847878296$$
Signos de extremos en los puntos:
2
(-86.1625558175537, -3.80257213817311e-38 - 38.4433895566568*e )
2
(-42.18086803543602, -4.79823782852017e-19 - 18.7739355619817*e )
2
(-26.473616791578536, -3.18166398083337e-12 - 11.749152675255*e )
2
(-23.332282565423004, -7.36068837450199e-11 - 10.3442012872768*e )
2
(-59.45928036260429, -1.50370498882589e-26 + 26.5012162355076*e )
2
(-87.73334170667792, -7.90485335909186e-39 + 39.1458705629708*e )
2
(-122.2906992170149, -7.75932855988518e-54 + 54.6004557407121*e )
2
(-37.46862964626381, -5.34048746632774e-17 + 16.6664978775403*e )
2
(-95.58727630872174, -3.06883373035186e-42 - 42.658275825146*e )
2
(0.4856425919208386, -1.62521902598551 - 0.181002653785227*e )
2
(-12.338665812802816, -4.37910666210048e-6 + 5.42691853666758*e )
2
(-20.19102954477579, -1.70273586898973e-9 - 8.93925353165252*e )
2
(-81.45020057161976, -4.23279603623058e-36 + 36.3359466460064*e )
2
(-50.0346619693212, -1.86304095837176e-22 + 22.2863345330862*e )
2
(-72.02550335917921, -5.24470825384584e-32 + 32.1210614185897*e )
2
(-92.44570150686276, -7.10136703669347e-41 - 41.2533136772963*e )
2
(-51.60542763844109, -3.87300038687144e-23 - 22.9888146351093*e )
2
(-21.76164368667469, -3.54028503854004e-10 + 9.64172685620577*e )
2
(-7.628882958994735, -0.00048620366454576 - 3.31959096270077*e )
2
(-35.89789235103348, -2.5688777666601e-16 - 15.9640190445123*e )
2
(-64.17160719019948, -1.35090591241632e-28 - 28.608657875224*e )
2
(-28.04430576937379, -6.6147396518336e-13 + 12.451629347221*e )
2
(-15.479411794944113, -1.89398647925637e-7 + 6.8318436088485*e )
2
(-1.3652579118195132, -0.255314818786306 - 0.510999425397725*e )
2
(-65.74238478542499, -2.8083100911911e-29 + 29.3111385106163*e )
2
(-67.3131632574602, -5.83800735547156e-30 - 30.0136191852217*e )
2
(-29.615006210715844, -1.37520113195543e-13 - 13.1541065319221*e )
2
(-0.3563779660677943, -0.700207915381262 - 0.138280301623535*e )
2
(-56.3177349431024, -3.47951314016858e-25 + 25.0962554017054*e )
2
(-34.32716048950175, -1.23567317853403e-15 + 15.2615404545068*e )
2
(1.6143142014832885, -5.02444098747554 + 0.820309867290977*e )
2
(-4.49201527484935, -0.0111980538984115 - 1.91484815364418*e )
2
(-13.90899030855889, -9.10756459516233e-7 - 6.12937890360175*e )
2
(-57.888507009807775, -7.2333726549911e-26 - 25.7987357898477*e )
2
(-43.75162140662138, -9.97498494258532e-20 + 19.4764151139974*e )
2
(-78.30863266900396, -9.79474077279153e-35 + 34.9309848067047*e )
2
(-94.0164887583458, -1.4762425684e-41 + 41.9557947445376*e )
2
(-48.463898295680046, -8.96182375347277e-22 - 21.5838545203074*e )
2
(-100.29964061249967, -2.75689067938869e-44 + 44.7657191408808*e )
2
(-79.87941637634631, -2.03615225727808e-35 - 35.6334657154449*e )
2
(-6.059923345651865, -0.00233457983636597 + 2.61719015732254*e )
2
(-89.30412796380352, -1.64327411454649e-39 - 39.8483515857425*e )
2
(-70.45472259671737, -2.52291577468178e-31 - 31.418580641551*e )
2
(-45.322377768370444, -2.07367851697082e-20 - 20.1788947997625*e )
2
(-73.59628478782957, -1.09028397298003e-32 - 32.8235422254219*e )
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -86.1625558175537$$
$$x_{2} = -42.180868035436$$
$$x_{3} = -26.4736167915785$$
$$x_{4} = -23.332282565423$$
$$x_{5} = -95.5872763087217$$
$$x_{6} = 0.485642591920839$$
$$x_{7} = -20.1910295447758$$
$$x_{8} = -92.4457015068628$$
$$x_{9} = -51.6054276384411$$
$$x_{10} = -7.62888295899474$$
$$x_{11} = -35.8978923510335$$
$$x_{12} = -64.1716071901995$$
$$x_{13} = -1.36525791181951$$
$$x_{14} = -67.3131632574602$$
$$x_{15} = -29.6150062107158$$
$$x_{16} = -4.49201527484935$$
$$x_{17} = -13.9089903085589$$
$$x_{18} = -57.8885070098078$$
$$x_{19} = -48.46389829568$$
$$x_{20} = -79.8794163763463$$
$$x_{21} = -89.3041279638035$$
$$x_{22} = -70.4547225967174$$
$$x_{23} = -45.3223777683704$$
$$x_{24} = -73.5962847878296$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{24} = -59.4592803626043$$
$$x_{24} = -87.7333417066779$$
$$x_{24} = -122.290699217015$$
$$x_{24} = -37.4686296462638$$
$$x_{24} = -12.3386658128028$$
$$x_{24} = -81.4502005716198$$
$$x_{24} = -50.0346619693212$$
$$x_{24} = -72.0255033591792$$
$$x_{24} = -21.7616436866747$$
$$x_{24} = -28.0443057693738$$
$$x_{24} = -15.4794117949441$$
$$x_{24} = -65.742384785425$$
$$x_{24} = -0.356377966067794$$
$$x_{24} = -56.3177349431024$$
$$x_{24} = -34.3271604895018$$
$$x_{24} = 1.61431420148329$$
$$x_{24} = -43.7516214066214$$
$$x_{24} = -78.308632669004$$
$$x_{24} = -94.0164887583458$$
$$x_{24} = -100.2996406125$$
$$x_{24} = -6.05992334565186$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0.485642591920839, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -95.5872763087217\right]$$