Sr Examen

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Gráfico de la función y = ((8x^(2)-6x+1)^1/4)/(arctg(2x+1))+2^(sin(x/|x|))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          ________________       / x \
       4 /    2               sin|---|
       \/  8*x  - 6*x + 1        \|x|/
f(x) = ------------------- + 2        
          atan(2*x + 1)               
$$f{\left(x \right)} = 2^{\sin{\left(\frac{x}{\left|{x}\right|} \right)}} + \frac{\sqrt[4]{\left(8 x^{2} - 6 x\right) + 1}}{\operatorname{atan}{\left(2 x + 1 \right)}}$$
f = 2^sin(x/|x|) + (8*x^2 - 6*x + 1)^(1/4)/atan(2*x + 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -0.5$$
$$x_{2} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2^{\sin{\left(\frac{x}{\left|{x}\right|} \right)}} + \frac{\sqrt[4]{\left(8 x^{2} - 6 x\right) + 1}}{\operatorname{atan}{\left(2 x + 1 \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (8*x^2 - 6*x + 1)^(1/4)/atan(2*x + 1) + 2^sin(x/|x|).
$$2^{\sin{\left(\frac{0}{\left|{0}\right|} \right)}} + \frac{\sqrt[4]{\left(8 \cdot 0^{2} - 0\right) + 1}}{\operatorname{atan}{\left(0 \cdot 2 + 1 \right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -0.5$$
$$x_{2} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2^{\sin{\left(\frac{x}{\left|{x}\right|} \right)}} + \frac{\sqrt[4]{\left(8 x^{2} - 6 x\right) + 1}}{\operatorname{atan}{\left(2 x + 1 \right)}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(2^{\sin{\left(\frac{x}{\left|{x}\right|} \right)}} + \frac{\sqrt[4]{\left(8 x^{2} - 6 x\right) + 1}}{\operatorname{atan}{\left(2 x + 1 \right)}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (8*x^2 - 6*x + 1)^(1/4)/atan(2*x + 1) + 2^sin(x/|x|), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{\sin{\left(\frac{x}{\left|{x}\right|} \right)}} + \frac{\sqrt[4]{\left(8 x^{2} - 6 x\right) + 1}}{\operatorname{atan}{\left(2 x + 1 \right)}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{\sin{\left(\frac{x}{\left|{x}\right|} \right)}} + \frac{\sqrt[4]{\left(8 x^{2} - 6 x\right) + 1}}{\operatorname{atan}{\left(2 x + 1 \right)}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$2^{\sin{\left(\frac{x}{\left|{x}\right|} \right)}} + \frac{\sqrt[4]{\left(8 x^{2} - 6 x\right) + 1}}{\operatorname{atan}{\left(2 x + 1 \right)}} = - \frac{\sqrt[4]{8 x^{2} + 6 x + 1}}{\operatorname{atan}{\left(2 x - 1 \right)}} + 2^{- \sin{\left(\frac{x}{\left|{x}\right|} \right)}}$$
- No
$$2^{\sin{\left(\frac{x}{\left|{x}\right|} \right)}} + \frac{\sqrt[4]{\left(8 x^{2} - 6 x\right) + 1}}{\operatorname{atan}{\left(2 x + 1 \right)}} = \frac{\sqrt[4]{8 x^{2} + 6 x + 1}}{\operatorname{atan}{\left(2 x - 1 \right)}} - 2^{- \sin{\left(\frac{x}{\left|{x}\right|} \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar