Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos^2(x-1)+(x^2)-2x

Gráfico de la función y = cos^2(x-1)+(x^2)-2x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2           2      
f(x) = cos (x - 1) + x  - 2*x
f(x)=−2x+(x2+cos⁡2(x−1))f{\left(x \right)} = - 2 x + \left(x^{2} + \cos^{2}{\left(x - 1 \right)}\right) 
f = -2*x + x^2 + cos(x - 1)^2
Gráfico de la función
1.00001.01001.00101.00201.00301.00401.00501.00601.00701.00801.009001
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−2x+(x2+cos⁡2(x−1))=0- 2 x + \left(x^{2} + \cos^{2}{\left(x - 1 \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x - 1)^2 + x^2 - 2*x.
−0+(02+cos⁡2(−1))- 0 + \left(0^{2} + \cos^{2}{\left(-1 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=cos⁡2(1)f{\left(0 \right)} = \cos^{2}{\left(1 \right)}
Punto:
(0, cos(1)^2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x−2sin⁡(x−1)cos⁡(x−1)−2=02 x - 2 \sin{\left(x - 1 \right)} \cos{\left(x - 1 \right)} - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1.00009644570879x_{1} = 1.00009644570879
x2=0.999967507063143x_{2} = 0.999967507063143
x3=0.999978191793755x_{3} = 0.999978191793755
x4=1.00004846433218x_{4} = 1.00004846433218
x5=1.00000992084745x_{5} = 1.00000992084745
x6=0.999930324324592x_{6} = 0.999930324324592
x7=1.00006411489214x_{7} = 1.00006411489214
x8=1.00004672906822x_{8} = 1.00004672906822
x9=1.00006484656311x_{9} = 1.00006484656311
x10=0.999948957484649x_{10} = 0.999948957484649
x11=0.999951053276152x_{11} = 0.999951053276152
x12=0.999929070164344x_{12} = 0.999929070164344
x13=0.999949494294535x_{13} = 0.999949494294535
x14=0.999907109469426x_{14} = 0.999907109469426
x15=1.00007636275076x_{15} = 1.00007636275076
x16=1.00003790222637x_{16} = 1.00003790222637
x17=1.00005473652849x_{17} = 1.00005473652849
x18=0.999927203014101x_{18} = 0.999927203014101
x19=0.999997316009244x_{19} = 0.999997316009244
x20=0.99992241920477x_{20} = 0.99992241920477
x21=0.9999885558432x_{21} = 0.9999885558432
x22=1.00005780891999x_{22} = 1.00005780891999
x23=0.999933946627318x_{23} = 0.999933946627318
x24=0.999919152797661x_{24} = 0.999919152797661
x25=1.00006135572063x_{25} = 1.00006135572063
x26=0.999977284235265x_{26} = 0.999977284235265
x27=1.00005428617856x_{27} = 1.00005428617856
x28=1.00003403748349x_{28} = 1.00003403748349
x29=0.999967658999993x_{29} = 0.999967658999993
x30=1.0000105759605x_{30} = 1.0000105759605
x31=0.999955229858637x_{31} = 0.999955229858637
x32=0.999919076418555x_{32} = 0.999919076418555
x33=1.0000350992568x_{33} = 1.0000350992568
x34=0.999921272590063x_{34} = 0.999921272590063
Signos de extremos en los puntos:
(1.0000964457087882, 0)

(0.9999675070631431, 0)

(0.9999781917937549, 0)

(1.000048464332184, 0)

(1.0000099208474478, 0)

(0.9999303243245917, 0)

(1.0000641148921405, 0)

(1.0000467290682158, 0)

(1.0000648465631106, 0)

(0.999948957484649, 0)

(0.9999510532761521, 0)

(0.9999290701643436, 0)

(0.9999494942945351, 0)

(0.9999071094694256, 0)

(1.000076362750765, 0)

(1.0000379022263721, 0)

(1.0000547365284909, 0)

(0.9999272030141005, 0)

(0.9999973160092439, 0)

(0.9999224192047699, 2.22044604925031e-16)

(0.9999885558432001, -2.22044604925031e-16)

(1.0000578089199872, 0)

(0.9999339466273184, -2.22044604925031e-16)

(0.9999191527976605, 0)

(1.0000613557206275, 0)

(0.9999772842352652, 0)

(1.0000542861785617, 0)

(1.0000340374834902, 0)

(0.9999676589999925, 2.22044604925031e-16)

(1.0000105759604985, 0)

(0.9999552298586373, 0)

(0.9999190764185546, 0)

(1.0000350992568028, 0)

(0.9999212725900635, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0.9999885558432x_{1} = 0.9999885558432
x2=0.999933946627318x_{2} = 0.999933946627318
x3=0.999977284235265x_{3} = 0.999977284235265
x4=0.999921272590063x_{4} = 0.999921272590063
Puntos máximos de la función:
x4=0.99992241920477x_{4} = 0.99992241920477
x4=0.999967658999993x_{4} = 0.999967658999993
Decrece en los intervalos
[0.9999885558432,∞)\left[0.9999885558432, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0.999921272590063]\left(-\infty, 0.999921272590063\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(sin⁡2(x−1)−cos⁡2(x−1)+1)=02 \left(\sin^{2}{\left(x - 1 \right)} - \cos^{2}{\left(x - 1 \right)} + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−2x+(x2+cos⁡2(x−1)))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 x + \left(x^{2} + \cos^{2}{\left(x - 1 \right)}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−2x+(x2+cos⁡2(x−1)))=∞\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x + \left(x^{2} + \cos^{2}{\left(x - 1 \right)}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x - 1)^2 + x^2 - 2*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−2x+(x2+cos⁡2(x−1))x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} + \cos^{2}{\left(x - 1 \right)}\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−2x+(x2+cos⁡2(x−1))x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} + \cos^{2}{\left(x - 1 \right)}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−2x+(x2+cos⁡2(x−1))=x2+2x+cos⁡2(x+1)- 2 x + \left(x^{2} + \cos^{2}{\left(x - 1 \right)}\right) = x^{2} + 2 x + \cos^{2}{\left(x + 1 \right)}
- No
−2x+(x2+cos⁡2(x−1))=−x2−2x−cos⁡2(x+1)- 2 x + \left(x^{2} + \cos^{2}{\left(x - 1 \right)}\right) = - x^{2} - 2 x - \cos^{2}{\left(x + 1 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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