Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(2)*sqrt(1/(x-log(x)))*(-1+x)/2

Gráfico de la función y = sqrt(2)*sqrt(1/(x-log(x)))*(-1+x)/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 ____________         
         ___    /     1               
       \/ 2 *  /  ---------- *(-1 + x)
             \/   x - log(x)          
f(x) = -------------------------------
                      2
f(x)=21x−log⁡(x)(x−1)2f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{x - \log{\left(x \right)}}} \left(x - 1\right)}{2} 
f = ((sqrt(2)*sqrt(1/(x - log(x))))*(x - 1))/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
21x−log⁡(x)(x−1)2=0\frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{x - \log{\left(x \right)}}} \left(x - 1\right)}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((sqrt(2)*sqrt(1/(x - log(x))))*(-1 + x))/2.
(−1)21(−1)log⁡(0)2\frac{\left(-1\right) \sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{\left(-1\right) \log{\left(0 \right)}}}}{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2(−1+1x)(x−1)1x−log⁡(x)4(x−log⁡(x))+21x−log⁡(x)2=0\frac{\sqrt{2} \left(-1 + \frac{1}{x}\right) \left(x - 1\right) \sqrt{\frac{1}{x - \log{\left(x \right)}}}}{4 \left(x - \log{\left(x \right)}\right)} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{x - \log{\left(x \right)}}}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2((x−1)(3(1−1x)2x−log⁡(x)−2x2)4−1+1x)1x−log⁡(x)2(x−log⁡(x))=0\frac{\sqrt{2} \left(\frac{\left(x - 1\right) \left(\frac{3 \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{2}}{x - \log{\left(x \right)}} - \frac{2}{x^{2}}\right)}{4} - 1 + \frac{1}{x}\right) \sqrt{\frac{1}{x - \log{\left(x \right)}}}}{2 \left(x - \log{\left(x \right)}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(21x−log⁡(x)(x−1)2)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{x - \log{\left(x \right)}}} \left(x - 1\right)}{2}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(21x−log⁡(x)(x−1)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{x - \log{\left(x \right)}}} \left(x - 1\right)}{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((sqrt(2)*sqrt(1/(x - log(x))))*(-1 + x))/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2(x−1)1x−log⁡(x)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{2} \left(x - 1\right) \sqrt{\frac{1}{x - \log{\left(x \right)}}}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2(x−1)1x−log⁡(x)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2} \left(x - 1\right) \sqrt{\frac{1}{x - \log{\left(x \right)}}}}{2 x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
21x−log⁡(x)(x−1)2=2(−x−1)1−x−log⁡(−x)2\frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{x - \log{\left(x \right)}}} \left(x - 1\right)}{2} = \frac{\sqrt{2} \left(- x - 1\right) \sqrt{\frac{1}{- x - \log{\left(- x \right)}}}}{2}
- No
21x−log⁡(x)(x−1)2=−2(−x−1)1−x−log⁡(−x)2\frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{x - \log{\left(x \right)}}} \left(x - 1\right)}{2} = - \frac{\sqrt{2} \left(- x - 1\right) \sqrt{\frac{1}{- x - \log{\left(- x \right)}}}}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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