Sr Examen

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3*cos(x)-1
Trazado el gráfico de la función/ 3*cos(x)-1

Gráfico de la función y = 3*cos(x)-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 3*cos(x) - 1
f(x)=3cos⁡(x)−1f{\left(x \right)} = 3 \cos{\left(x \right)} - 1 
f = 3*cos(x) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3cos⁡(x)−1=03 \cos{\left(x \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−acos⁡(13)+2πx_{1} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)} + 2 \pi
x2=acos⁡(13)x_{2} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}
Solución numérica
x1=45.2132565675979x_{1} = 45.2132565675979
x2=−80.4504495759938x_{2} = -80.4504495759938
x3=−82.9123684106754x_{3} = -82.9123684106754
x4=5.05222588983881x_{4} = 5.05222588983881
x5=−93.016820190353x_{5} = -93.016820190353
x6=20.0805153388795x_{6} = 20.0805153388795
x7=95.4787390250346x_{7} = 95.4787390250346
x8=−74.1672642688143x_{8} = -74.1672642688143
x9=61.6008936544551x_{9} = 61.6008936544551
x10=−11.3354111970184x_{10} = -11.3354111970184
x11=−95.4787390250346x_{11} = -95.4787390250346
x12=−49.0345230400959x_{12} = -49.0345230400959
x13=−26.3637006460591x_{13} = -26.3637006460591
x14=38.9300712604183x_{14} = 38.9300712604183
x15=36.4681524257367x_{15} = 36.4681524257367
x16=7.51414472452036x_{16} = 7.51414472452036
x17=−17.618596504198x_{17} = -17.618596504198
x18=82.9123684106754x_{18} = 82.9123684106754
x19=99.3000054975326x_{19} = 99.3000054975326
x20=−70.3459977963162x_{20} = -70.3459977963162
x21=86.7336348831734x_{21} = 86.7336348831734
x22=−61.6008936544551x_{22} = -61.6008936544551
x23=51.4964418747775x_{23} = 51.4964418747775
x24=−7.51414472452036x_{24} = -7.51414472452036
x25=−45.2132565675979x_{25} = -45.2132565675979
x26=−55.3177083472755x_{26} = -55.3177083472755
x27=32.6468859532387x_{27} = 32.6468859532387
x28=42.7513377329163x_{28} = 42.7513377329163
x29=89.195553717855x_{29} = 89.195553717855
x30=26.3637006460591x_{30} = 26.3637006460591
x31=−23.9017818113776x_{31} = -23.9017818113776
x32=30.1849671185572x_{32} = 30.1849671185572
x33=13.7973300316999x_{33} = 13.7973300316999
x34=−57.7796271819571x_{34} = -57.7796271819571
x35=−86.7336348831734x_{35} = -86.7336348831734
x36=23.9017818113776x_{36} = 23.9017818113776
x37=−76.6291831034958x_{37} = -76.6291831034958
x38=−42.7513377329163x_{38} = -42.7513377329163
x39=67.8840789616347x_{39} = 67.8840789616347
x40=17.618596504198x_{40} = 17.618596504198
x41=−13.7973300316999x_{41} = -13.7973300316999
x42=−1.23095941734077x_{42} = -1.23095941734077
x43=76.6291831034958x_{43} = 76.6291831034958
x44=1.23095941734077x_{44} = 1.23095941734077
x45=−20.0805153388795x_{45} = -20.0805153388795
x46=−99.3000054975326x_{46} = -99.3000054975326
x47=49.0345230400959x_{47} = 49.0345230400959
x48=64.0628124891366x_{48} = 64.0628124891366
x49=−64.0628124891366x_{49} = -64.0628124891366
x50=55.3177083472755x_{50} = 55.3177083472755
x51=74.1672642688143x_{51} = 74.1672642688143
x52=−30.1849671185572x_{52} = -30.1849671185572
x53=−38.9300712604183x_{53} = -38.9300712604183
x54=−51.4964418747775x_{54} = -51.4964418747775
x55=−5.05222588983881x_{55} = -5.05222588983881
x56=−325.494676555998x_{56} = -325.494676555998
x57=−67.8840789616347x_{57} = -67.8840789616347
x58=57.7796271819571x_{58} = 57.7796271819571
x59=−89.195553717855x_{59} = -89.195553717855
x60=11.3354111970184x_{60} = 11.3354111970184
x61=−32.6468859532387x_{61} = -32.6468859532387
x62=80.4504495759938x_{62} = 80.4504495759938
x63=93.016820190353x_{63} = 93.016820190353
x64=−36.4681524257367x_{64} = -36.4681524257367
x65=−101.761924332214x_{65} = -101.761924332214
x66=70.3459977963162x_{66} = 70.3459977963162
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*cos(x) - 1.
−1+3cos⁡(0)-1 + 3 \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3sin⁡(x)=0- 3 \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)

(pi, -4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3cos⁡(x)=0- 3 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3cos⁡(x)−1)=⟨−4,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(3 \cos{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -4, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−4,2⟩y = \left\langle -4, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(3cos⁡(x)−1)=⟨−4,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(3 \cos{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -4, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−4,2⟩y = \left\langle -4, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*cos(x) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3cos⁡(x)−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \cos{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3cos⁡(x)−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \cos{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3cos⁡(x)−1=3cos⁡(x)−13 \cos{\left(x \right)} - 1 = 3 \cos{\left(x \right)} - 1
- Sí
3cos⁡(x)−1=1−3cos⁡(x)3 \cos{\left(x \right)} - 1 = 1 - 3 \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = 3*cos(x)-1
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