Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\left(2 x + 1\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -45.5641883065108$$
$$x_{2} = -42.4234267640088$$
$$x_{3} = 11.0388789632915$$
$$x_{4} = -83.2582469405715$$
$$x_{5} = 51.8458303529263$$
$$x_{6} = -58.1281401904923$$
$$x_{7} = 86.3995516798409$$
$$x_{8} = -54.9870476730441$$
$$x_{9} = -92.682407256163$$
$$x_{10} = -11.042963775064$$
$$x_{11} = -70.6929578069925$$
$$x_{12} = 80.1168147670621$$
$$x_{13} = -0.3291899722468$$
$$x_{14} = 215.201414785852$$
$$x_{15} = 42.4231490225752$$
$$x_{16} = 98.9651954297421$$
$$x_{17} = 76.9754735786459$$
$$x_{18} = -98.965246478201$$
$$x_{19} = 83.258174815787$$
$$x_{20} = 14.1712340520224$$
$$x_{21} = 23.5827037080218$$
$$x_{22} = -95.8238211649932$$
$$x_{23} = -51.8460163302446$$
$$x_{24} = -17.3084976836792$$
$$x_{25} = -48.7050581142003$$
$$x_{26} = -4.82742115185184$$
$$x_{27} = -86.399618655593$$
$$x_{28} = 64.4103521777991$$
$$x_{29} = 39.2824758561339$$
$$x_{30} = 95.8237667147742$$
$$x_{31} = 33.0016463943584$$
$$x_{32} = -76.9755579564344$$
$$x_{33} = 61.2691512237165$$
$$x_{34} = -14.1737171579923$$
$$x_{35} = 20.4442206488192$$
$$x_{36} = 36.1419602276141$$
$$x_{37} = 92.6823490524907$$
$$x_{38} = -36.1423428546997$$
$$x_{39} = -80.1168926582631$$
$$x_{40} = -67.5516988465835$$
$$x_{41} = 17.3068313300672$$
$$x_{42} = 7.91334123766475$$
$$x_{43} = -64.4104726829187$$
$$x_{44} = 54.9868823327609$$
$$x_{45} = -61.2692844001807$$
$$x_{46} = 48.7048473813719$$
$$x_{47} = -89.5410059585745$$
$$x_{48} = -1.91128518636087$$
$$x_{49} = -33.0021052681971$$
$$x_{50} = -26.7226027651204$$
$$x_{51} = 70.6928577667219$$
$$x_{52} = -73.8342453507376$$
$$x_{53} = 73.8341536410894$$
$$x_{54} = 45.5639475265121$$
$$x_{55} = 26.7219030526837$$
$$x_{56} = -23.5836019131825$$
$$x_{57} = -20.4454154165576$$
$$x_{58} = 58.127992234016$$
$$x_{59} = 29.8615968926246$$
$$x_{60} = -29.8621572849407$$
$$x_{61} = 67.551589286951$$
$$x_{62} = -7.92125402596329$$
$$x_{63} = -39.2827997688231$$
$$x_{64} = 89.5409435995543$$
$$x_{65} = 1.78611723063107$$
$$x_{66} = 4.80633851753999$$
Signos de extremos en los puntos:
(-45.564188306510765, 90.1117348809766)
(-42.423426764008845, -83.828965253271)
(11.038878963291548, -23.0128313644785)
(-83.25824694057147, 165.507431533177)
(51.845830352926285, 104.677333679589)
(-58.12814019049232, 115.243266477271)
(86.39955167984093, -173.790472871928)
(-54.987047673044096, -108.960331283004)
(-92.68240725616296, -184.356678609269)
(-11.042963775064027, -21.0148832254847)
(-70.69295780699252, 140.375231097683)
(80.11681476706205, -161.224326472804)
(-0.3291899722468004, 0.835866746387795)
(215.20141478585202, 431.399352553948)
(42.4231490225752, -85.828826339141)
(98.96519542974214, -198.922850644623)
(76.97547357864586, 154.941266909541)
(-98.96524647820095, -196.922876170318)
(83.25817481578697, 167.507395467859)
(14.171234052022397, 29.2913822636188)
(23.58270370802177, -48.1342725614297)
(-95.82382116499323, 190.639774538346)
(-51.84601633024458, 102.677426687711)
(-17.30849768367923, -33.5723980957882)
(-48.705058114200305, -96.3945586714855)
(-4.827421151851844, -8.48286460185973)
(-86.39961865559299, -171.790506362328)
(64.41035217779908, 129.809150358171)
(39.282475856133935, 79.5461009272561)
(95.82376671477424, 192.639747311568)
(33.00164639435843, 66.9809087375767)
(-76.9755579564344, 152.94130910244)
(61.26915122371646, -123.526160928242)
(-14.173717157992298, 27.2926273004515)
(20.444220648819186, 41.8526437960035)
(36.14196022761406, -73.2634543408552)
(92.68234905249074, -186.356649505527)
(-36.14234285469967, -71.2636457368069)
(-80.11689265826308, -159.224365421818)
(-67.55169884658352, -134.092212657047)
(17.306831330067244, -35.5715633523643)
(7.913341237664746, 16.7377214945627)
(-64.41047268291865, 127.809210618901)
(54.986882332760906, -110.960248597481)
(-61.26928440018071, -121.526227526453)
(48.704847381371906, -98.3944532800821)
(-89.54100595857454, 178.073588986649)
(-1.911285186360867, 2.32658298380193)
(-33.002105268197106, 64.9811382930371)
(-26.722602765120406, 52.4166103144978)
(70.69285776672187, 142.375181071917)
(-73.83424535073762, -146.658263833259)
(73.83415364108944, -148.658217973703)
(45.563947526512116, 92.1116144583521)
(26.721903052683686, 54.4162601825328)
(-23.58360191318248, -46.134722118556)
(-20.445415416557612, 39.8532419845582)
(58.127992234015984, 117.243192486716)
(29.86159689262455, -60.6984954343149)
(-29.86215728494068, -58.6987758072991)
(67.55158928695097, -136.092157870478)
(-7.921254025963295, 14.7417136140648)
(-39.28279976882314, 77.5462629426524)
(89.5409435995543, 180.073557804951)
(1.7861172306310664, 4.25299094115468)
(4.806338517539989, -10.4720636055512)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -42.4234267640088$$
$$x_{2} = 11.0388789632915$$
$$x_{3} = 86.3995516798409$$
$$x_{4} = -54.9870476730441$$
$$x_{5} = -92.682407256163$$
$$x_{6} = -11.042963775064$$
$$x_{7} = 80.1168147670621$$
$$x_{8} = -0.3291899722468$$
$$x_{9} = 42.4231490225752$$
$$x_{10} = 98.9651954297421$$
$$x_{11} = -98.965246478201$$
$$x_{12} = 23.5827037080218$$
$$x_{13} = -17.3084976836792$$
$$x_{14} = -48.7050581142003$$
$$x_{15} = -4.82742115185184$$
$$x_{16} = -86.399618655593$$
$$x_{17} = 61.2691512237165$$
$$x_{18} = 36.1419602276141$$
$$x_{19} = 92.6823490524907$$
$$x_{20} = -36.1423428546997$$
$$x_{21} = -80.1168926582631$$
$$x_{22} = -67.5516988465835$$
$$x_{23} = 17.3068313300672$$
$$x_{24} = 54.9868823327609$$
$$x_{25} = -61.2692844001807$$
$$x_{26} = 48.7048473813719$$
$$x_{27} = -73.8342453507376$$
$$x_{28} = 73.8341536410894$$
$$x_{29} = -23.5836019131825$$
$$x_{30} = 29.8615968926246$$
$$x_{31} = -29.8621572849407$$
$$x_{32} = 67.551589286951$$
$$x_{33} = 4.80633851753999$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{33} = -45.5641883065108$$
$$x_{33} = -83.2582469405715$$
$$x_{33} = 51.8458303529263$$
$$x_{33} = -58.1281401904923$$
$$x_{33} = -70.6929578069925$$
$$x_{33} = 215.201414785852$$
$$x_{33} = 76.9754735786459$$
$$x_{33} = 83.258174815787$$
$$x_{33} = 14.1712340520224$$
$$x_{33} = -95.8238211649932$$
$$x_{33} = -51.8460163302446$$
$$x_{33} = 64.4103521777991$$
$$x_{33} = 39.2824758561339$$
$$x_{33} = 95.8237667147742$$
$$x_{33} = 33.0016463943584$$
$$x_{33} = -76.9755579564344$$
$$x_{33} = -14.1737171579923$$
$$x_{33} = 20.4442206488192$$
$$x_{33} = 7.91334123766475$$
$$x_{33} = -64.4104726829187$$
$$x_{33} = -89.5410059585745$$
$$x_{33} = -1.91128518636087$$
$$x_{33} = -33.0021052681971$$
$$x_{33} = -26.7226027651204$$
$$x_{33} = 70.6928577667219$$
$$x_{33} = 45.5639475265121$$
$$x_{33} = 26.7219030526837$$
$$x_{33} = -20.4454154165576$$
$$x_{33} = 58.127992234016$$
$$x_{33} = -7.92125402596329$$
$$x_{33} = -39.2827997688231$$
$$x_{33} = 89.5409435995543$$
$$x_{33} = 1.78611723063107$$
Decrece en los intervalos
$$\left[98.9651954297421, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -98.965246478201\right]$$